Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = x + y + \frac{1}{x + y}.\)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y + \frac{1}{x + y} \) dưới điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} \leq 1 \), ta sẽ tìm hiểu và phân tích nó từng bước.

### Bước 1: Xác định điều kiện

Từ điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} \leq 1 \), ta có thể biến đổi nó:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} \leq 1 \implies \frac{y + 1 + x}{x(y + 1)} \leq 1 \implies y + 1 + x \leq x(y + 1)
\]

Điều này có thể được sắp xếp lại để tìm mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \).

### Bước 2: Tiến hành cực trị

Giả sử \( s = x + y \), ta có thể thay thế \( y \) bằng \( s - x \) để biểu thức trở thành:

\[
P = s + \frac{1}{s}
\]

**Lưu ý:** Dù \( y \) có tồn tại hay không, ta vẫn sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \) dưới điều kiện cho trước.

### Bước 3: Lấy đạo hàm để tìm cực trị

Xét hàm \( f(s) = s + \frac{1}{s} \). Lấy đạo hàm:

\[
f'(s) = 1 - \frac{1}{s^2}
\]

Đặt \( f'(s) = 0 \):

\[
1 - \frac{1}{s^2} = 0 \implies s^2 = 1 \implies s = 1 \quad (s > 0)
\]

### Bước 4: Tính giá trị \( P \) tại cực trị

Tính \( P \) tại \( s = 1 \):

\[
P(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2
\]

### Bước 5: Kiểm tra tính chất của hàm

Ta kiểm tra tính khả thi của \( s = 1 \) trong điều kiện đã cho. Từ \( x + y = 1 \):

Nếu \( y = 1 - x \), ta cần xác định \( x \) sao cho \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} \leq 1 \).

Thay vào điều kiện:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{2 - x} \leq 1
\]

Giải hệ này và kiểm tra các giá trị để đảm bảo rằng không có giá trị nào bị vi phạm.

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

\[
\boxed{2}
\]

đạt được tại \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \).