Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

**Cho tam giác ABC vuông tại A:**
- Gọi A là đỉnh vuông, B và C là hai đỉnh còn lại.

**a)** Tứ giác AEBM:
- Tứ giác AEBM sẽ cấu tạo từ các điểm A, E, B, và M. Do AM là đường trung tuyến, tứ giác này sẽ có tính chất đặc biệt. Tùy thuộc vào vị trí của E, tứ giác AEBM có thể là hình thang hoặc hình tứ giác tổng quát.

**b)** Tứ giác AEMC:
- Tứ giác AEMC cũng được tạo thành từ các điểm A, E, M và C. Tương tự như trên, tính chất của tứ giác này phụ thuộc vào vị trí của điểm E và các điểm còn lại. Rất có thể AEMC sẽ là một hình tứ giác có tính chất đặc trưng.

**c)** Cho BC = 4 cm. Tính chu vi tứ giác AEBM:
- Để tính chu vi tứ giác AEBM, ta cần xác định độ dài các cạnh AE, EB, BM và AM. Chu vi sẽ bằng tổng các cạnh này.

**d)** Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEBM là hình vuông:
- Để AEBM là hình vuông, ta cần các cạnh AE = EB = AM và các góc giữa chúng đều bằng 90 độ. Bạn cần thiết lập điều kiện cho các cạnh và góc này để đảm bảo tứ giác AEBM là hình vuông.

Như vậy, để lập luận hoàn chỉnh và tính toán chính xác, ta cần biết thêm thông tin về vị trí điểm E và các độ dài cạnh trong tam giác ABC.