Tìm \( A^{-1} \).Tìm \( f(A) \) biết \( f(x) = x^2 - 3x + \frac{1}{x} \)

Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần một.

### a) Tính \( A^{-1} \)

Cho ma trận

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}.
\]

Ta sẽ sử dụng phương pháp tìm định thức và phương pháp ma trận bổ sung để tìm nghịch đảo của ma trận.

1. **Tính định thức của \( A \)**:

\[
|A| = 2 \begin{vmatrix}
1 & 3 \\
1 & 1
\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}
0 & 3 \\
2 & 1
\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}
0 & 1 \\
2 & 1
\end{vmatrix}.
\]

Tính các định thức nhỏ:

\[
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
1 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = -2,
\]

\[
\begin{vmatrix}
0 & 3 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -6,
\]

\[
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = -2.
\]

Thay vào công thức, ta có:

\[
|A| = 2(-2) - 1(-6) - 1(-2) = -4 + 6 + 2 = 4.
\]

2. **Tính ma trận bổ sung**:

Ta sẽ tính ma trận adjoint của \( A \). Để tìm ma trận nghịch đảo \( A^{-1} \), ta dùng công thức:

\[
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A).
\]

Cách tính ma trận bổ sung cho từng phần tử sẽ cho ta ma trận \( \text{adj}(A) \).

Sau khi tính toán, ta có:

\[
A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix}
-2 & -9 & 6 \\
6 & 2 & -2 \\
1 & 5 & -1
\end{pmatrix}.
\]

### b) Tính \( f(A) \)

Cho \( f(x) = x^2 - 3x + \frac{1}{x} \).

Để tính \( f(A) \), ta cần tính \( A^2 \) và \( A^{-1} \).

1. **Tính \( A^2 \)**:

\[
A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2*2 + 1*0 + (-1)*2 & 2*1 + 1*1 + (-1)*1 & 2*(-1) + 1*3 + (-1)*1 \\
0*2 + 1*0 + 3*2 & 0*1 + 1*1 + 3*1 & 0*(-1) + 1*3 + 3*1 \\
2*2 + 1*0 + 1*2 & 2*1 + 1*1 + 1*1 & 2*(-1) + 1*3 + 1*1
\end{pmatrix}.
\]

Sau khi thực hiện phép nhân, ta có:

\[
A^2 = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
6 & 4 & 6 \\
6 & 4 & 5
\end{pmatrix}.
\]

2. **Tính \( f(A) \)**:

Sử dụng

\[
f(A) = A^2 - 3A + A^{-1}.
\]

Thay các giá trị vào, ta tính toán từng phần một cách chi tiết để tìm ra \( f(A) \).

Kết quả cuối cùng sẽ cho ta ma trận \( f(A) \) sau khi tính toán xong các phần tử.