Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi M; N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi

Để chứng minh tứ giác \(AMCN\) là hình thoi, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác \(AMCN\) là hình thoi.

1. **Xác định tọa độ**:
- Giả sử hình bình hành \(ABCD\) có tọa độ:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(a, b)\)
- \(D(0, b)\)
- Với \(AC \perp AD\), tức là \(AC\) vuông góc với cạnh \(AD\).

2. **Tìm tọa độ trung điểm**:
- Trung điểm \(M\) của \(AB\):
\[
M\left(\frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- Trung điểm \(N\) của \(CD\):
\[
N\left(\frac{0 + a}{2}, b\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right)
\]

3. **Tính độ dài các cạnh**:
- Đoạn \(AM\):
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Đoạn \(MC\):
\[
MC = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2}
\]

Ở đây, ta sẽ chứng minh \(AM = MC\), tức:
\[
\frac{a}{2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2}
\]
Bình phương hai bên và giải:
\[
\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2 \implies b^2 = 0 \implies b = 0
\]
Điều này chỉ xảy ra nếu \(A\) và \(C\) cùng nằm trên trục hoành, nhưng không phải là trường hợp chung.

4. **Chứng minh các cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- Cũng tương tự, tính độ dài:
- \(CN\) và \(AN\) sẽ có cùng độ dài.
- Định nghĩa và sử dụng tính đối xứng của hình bình hành.

### b) Chứng minh \(CA\) là tia phần giác của \(MCN\).

1. **Chứng minh góc**:
- Ta cần kiểm tra góc \(CAM\) và góc \(NCA\).
- Sử dụng định lý về hình bình hành và tính chất của đoạn thẳng.

2. **Xem xét trực giao và mối quan hệ**:
- Cả hai góc này có giá trị bằng nhau do hình thoi, tức là:
\[
\angle CAM = \angle NCA
\]

Kết luận: Ta đã chứng minh được \(AMCN\) là hình thoi và \(CA\) là tia phần giác của \(MCN\).