Cho ∆ABC (AB<AC), AH là đường cao, HD vuông AB, HE vuông AC

Để tứ giác ADHE là hình vuông, ta cần xét một số điều kiện hình học trong tam giác \(\Delta ABC\) và các đoạn thẳng được tạo ra.

1. **Điều kiện cần có**: Tứ giác ADHE là hình vuông nên tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc đều bằng 90 độ.

2. **Kí hiệu các đoạn**:
- Gọi \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống cạnh \(BC\).
- \(D\) là giao điểm của \(AH\) với \(AB\).
- \(H\) là giao điểm của \(AH\) với \(BC\).
- \(E\) là giao điểm của đường thẳng từ \(A\) vuông góc với \(AC\) (HE) và \(AC\).

3. **Xét điều kiện**:
- Để \(ADHE\) là hình vuông, độ dài \(AD\) phải bằng độ dài \(DE\) và độ dài \(AH\) cũng phải bằng độ dài \(HE\).
- Cả hai đoạn \(HD\) và \(HE\) đều tạo các góc vuông với các cạnh của tam giác, do đó, yêu cầu rằng \(H\) nằm trên cả hai cạnh \(AB\) và \(AC\), đồng thời chiều dài hai cạnh \(AD\) và \(HE\) đều bằng nhau.

4. **Từ đó suy ra điều kiện**:
- Với góc vuông tại \(D\) và \(E\), ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tìm mối quan hệ giữa các độ dài \(AD\), \(HE\), \(AH\), \(HD\).
- Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông \(ADH\) và \(AEH\) để tìm ra các tỷ lệ giữa độ dài các cạnh.

5. **Kết luận**:
Để tứ giác \(ADHE\) là hình vuông, bạn cần các điều kiện sau:
- Độ dài các cạnh \(AD\) và \(HE\) phải bằng nhau.
- Góc \(ADH\) và \(AEH\) đều phải bằng 90 độ.

Tóm tắt, để xác định điều kiện cụ thể cho tứ giác \(ADHE\) là hình vuông trong tam giác \(ABC\), bạn cần phải đảm bảo rằng các đoạn thẳng được xây dựng từ các điểm trên các cạnh của hình và các điểm chính xác thỏa mãn điều kiện như trên. Từ những thông số cụ thể thì có thể xác định rõ hơn về độ lớn và tỉ lệ của các đoạn trong tam giác.