Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### a) Biểu thị mật độ vectơ \( \vec{AD}, \vec{DH}, \vec{HE} \) theo hai vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \):

1. **Biểu diễn các điểm D, E, H:**
- Từ điều kiện \( \frac{DB}{BC} = \frac{1}{3} \), ta có:
\[
\vec{D} = \vec{B} + \frac{1}{3}(\vec{C} - \vec{B}) = \frac{2}{3}\vec{B} + \frac{1}{3}\vec{C}
\]
- Từ điều kiện \( \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3} \), ta có:
\[
\vec{E} = \vec{A} + \frac{1}{3}(\vec{C} - \vec{A}) = \frac{2}{3}\vec{A} + \frac{1}{3}\vec{C}
\]
- Từ điều kiện \( \frac{AH}{AB} = \frac{2}{3} \), ta có:
\[
\vec{H} = \vec{A} + \frac{2}{3}(\vec{B} - \vec{A}) = \frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{B}
\]

2. **Biểu diễn các vectơ:**
- \( \vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \left(\frac{2}{3}\vec{B} + \frac{1}{3}\vec{C}\right) - \vec{A} = -\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{B} + \frac{1}{3}\vec{C} \)
- \( \vec{DH} = \vec{H} - \vec{D} = \left(\frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{B}\right) - \left(\frac{2}{3}\vec{B} + \frac{1}{3}\vec{C}\right) = \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{C} \)
- \( \vec{HE} = \vec{E} - \vec{H} = \left(\frac{2}{3}\vec{A} + \frac{1}{3}\vec{C}\right) - \left(\frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{B}\right) = \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{2}{3}\vec{B} + \frac{1}{3}\vec{C} \)

### b) Chứng minh \( D, E, H \) thẳng hàng:

Để chứng minh ba điểm D, E, H thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng vectơ \( \vec{DE} \) là bội số của vectơ \( \vec{DH} \) (hay \( \vec{HE} \)). Cụ thể:

1. **Tính vectơ \( \vec{DE} \):**
\[
\vec{DE} = \vec{E} - \vec{D} = \left(\frac{2}{3}\vec{A} + \frac{1}{3}\vec{C}\right) - \left(\frac{2}{3}\vec{B} + \frac{1}{3}\vec{C}\right) = \frac{2}{3}\vec{A} - \frac{2}{3}\vec{B}
\]

2. **So sánh với vectơ khác:**
Từ biểu diễn, nếu \( \vec{DE} \) là bội số của \( \vec{DH} \) hoặc \( \vec{HE} \), thì ba điểm D, E, H sẽ thẳng hàng.

### Kết luận:

Với các bước trên, bài toán đã được giải quyết, và bạn có thể thực hiện các phép minh chứng cụ thể với số liệu nếu cần.