Cho a, b là hai số thực thoả mãn a^2 + 3a = b^2 + 3b = 5. Chứng minh a + b = -3 và a^2 + b^2 = 19. Tính giá trị của a^3 + b^3, a^4 + b^4

Chúng ta đã có hai số thực \( a, b \) thỏa mãn phương trình:

\[
a^2 + 3a = 5
\]
\[
b^2 + 3b = 5
\]

Đầu tiên, từ các phương trình trên, ta sẽ viết lại thành dạng phương trình bậc hai:

\[
a^2 + 3a - 5 = 0
\]
\[
b^2 + 3b - 5 = 0
\]

### a. Chứng minh \( a + b = -3 \) và \( a^2 + b^2 = 19 \).

Theo định lý Viète, với hai nghiệm \( a \) và \( b \) của phương trình bậc hai, ta có:

- Tổng hai nghiệm \( a + b = -\frac{b}{a} = -3 \)
- Tích hai nghiệm \( ab = \frac{c}{a} = -5 \)

Để chứng minh \( a^2 + b^2 = 19 \), ta sử dụng công thức:

\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
\]

Thay giá trị của \( a + b \) và \( ab \) vào:

\[
a^2 + b^2 = (-3)^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( a + b = -3 \) và \( a^2 + b^2 = 19 \).

### b. Tính giá trị của \( a^3 + b^3 \) và \( a^4 + b^4 \).

Để tính \( a^3 + b^3 \), ta sử dụng công thức:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Ta đã biết:

- \( a + b = -3 \)
- \( a^2 + b^2 = 19 \)
- \( ab = -5 \)

Vì vậy:

\[
a^2 - ab + b^2 = (a^2 + b^2) - ab = 19 - (-5) = 19 + 5 = 24
\]

Bây giờ thay vào công thức:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (-3)(24) = -72
\]

Tiếp theo, để tính \( a^4 + b^4 \), ta sử dụng công thức:

\[
a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2
\]

Chúng ta có:

\[
a^4 + b^4 = 19^2 - 2(-5)^2 = 361 - 2 \cdot 25 = 361 - 50 = 311
\]

### Kết luận:
- Giá trị \( a^3 + b^3 = -72 \)
- Giá trị \( a^4 + b^4 = 311 \)