Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn \( n^5 + n + 1 \) có giá trị là một số nguyên tố

### Phần (a)

Để tìm các số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^5 + n + 1 \) là số nguyên tố, ta sẽ thử một số giá trị nhỏ của \( n \):

1. **Khi \( n = 0 \)**:
\[
0^5 + 0 + 1 = 1 \quad (\text{số không phải là số nguyên tố})
\]

2. **Khi \( n = 1 \)**:
\[
1^5 + 1 + 1 = 3 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

3. **Khi \( n = 2 \)**:
\[
2^5 + 2 + 1 = 35 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

4. **Khi \( n = 3 \)**:
\[
3^5 + 3 + 1 = 253 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

5. **Khi \( n = 4 \)**:
\[
4^5 + 4 + 1 = 1025 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

6. **Khi \( n = 5 \)**:
\[
5^5 + 5 + 1 = 3126 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

7. **Khi \( n = 6 \)**:
\[
6^5 + 6 + 1 = 7777 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

Ta có thể thấy rằng các số \( n \) lớn hơn 1 đều cho kết quả không phải số nguyên tố.

**Tóm lại:** Chỉ có \( n = 1 \) là giá trị mà \( n^5 + n + 1 \) là một số nguyên tố.

### Phần (b)

Xem xét hệ phương trình:
\[
a^2 - 2b = b^2 - 2c = c^2 - 2a = x = 2a
\]

Từ phương trình \( x = 2a \), ta có:
\[
a^2 - 2b = 2a \implies a^2 - 2a - 2b = 0 \tag{1}
\]
\[
b^2 - 2c = 2a \implies b^2 - 2b - 2c = 0 \tag{2}
\]
\[
c^2 - 2a = 2a \implies c^2 - 2a - 2a = 0 \implies c^2 - 4a = 0 \tag{3}
\]

Từ phương trình (3), ta có \( c^2 = 4a \), suy ra \( c = 2\sqrt{a} \).

Thay giá trị \( c \) vào phương trình (2):
\[
b^2 - 2(2\sqrt{a}) = 2a \implies b^2 - 4\sqrt{a} - 2a = 0
\]

Để tính giá trị của biểu thức \( K = (a + b + 2)(b + c)(c + a + 2) \), ta cần biết giá trị của các biến \( a, b, c \). Tuy nhiên, giá trị cụ thể không thể xác định nếu không có thêm điều kiện về \( a, b, c \).

Giá trị của \( K \) sẽ phụ thuộc vào các giá trị cụ thể của \( a, b, c \) khi giải hệ phương trình. Nếu có các giá trị cụ thể cho \( a, b, c \), ta có thể tính toán nhằm tìm ra giá trị cụ thể cho \( K \). Nhưng do không có thêm thông tin, ta không thể tính toán lần cuối cùng này.

**Đáp án cuối cùng trong phần (b)** sẽ là tỷ lệ liên kết giữa \( a, b, c \) nhưng không thể cho giá trị cụ thể mà không có thêm điều kiện.