Để tìm một phần số \( \frac{a}{b} \) sao cho \( \frac{a}{b} = \frac{21}{23} \) và khi cộng thêm một số tự nhiên vào tử số và mẫu số ta được phần số \( \frac{66}{72} \).

Ta có thể biểu diễn phần số cần tìm như sau:

\[
\frac{a + n}{b + n} = \frac{66}{72}
\]

Trong đó \( n \) là số tự nhiên cần tìm.

Xét tỷ lệ của phần số:

\[
\frac{66}{72} = \frac{11}{12}
\]

Như vậy, phương trình trở thành:

\[
\frac{a + n}{b + n} = \frac{11}{12}
\]

Vì \( \frac{a}{b} = \frac{21}{23} \), suy ra:

\[
a = 21k \quad \text{và} \quad b = 23k
\]

Với \( k \) là một số tự nhiên.

Thay vào phương trình:

\[
\frac{21k + n}{23k + n} = \frac{11}{12}
\]

Áp dụng phương pháp nhân chéo:

\[
12(21k + n) = 11(23k + n)
\]

Giải phương trình:

\[
252k + 12n = 253k + 11n
\]
\[
252k - 253k = 11n - 12n
\]
\[
-k = -n
\]
\[
n = k
\]

Với \( n = k \), ta có thể lấy \( k = 1 \) (vì \( n \) là số tự nhiên) thì:

\[
n = 1
\]
\[
a = 21 \cdot 1 = 21
\]
\[
b = 23 \cdot 1 = 23
\]

Kiểm tra lại:

\[
\frac{21 + 1}{23 + 1} = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}
\]

Vậy, phần số cần tìm là \( \frac{21}{23} \).