Để chứng minh ΔAMC cân trong trường hợp này, ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh ΔAMC cân

1. **Điều kiện mấu chốt**:
- Gọi \( D \) là trung điểm của \( BC \). Theo tính chất của đường trung tuyến, ta có \( AD = DB = DC \).

2. **Trong ΔABC vuông tại A**:
- Ta có \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \).

3. **Xét ΔAMC**:
- Xét \( AM \) là trung tuyến, nên ta có \( AM = \frac{1}{2}BC = AD \).

4. **Tính độ dài các cạnh**:
- Để chứng minh ΔAMC cân, cần chứng minh \( AM = AC \).
- Ta biết \( AB < AC \).
- Xét tam giác vuông \( ABC \):
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 \implies AC^2 > AB^2 \implies AC > AB.
\]

5. **Suy ra ΔAMC cân**:
- Xuất phát từ điều kiện trên và việc có \( AM = AD \), đồng thời vì \( AM < AC \) trong tam giác vuông (vì AM là trung tuyến), ta có:
\[
AM < AC \implies ΔAMC \text{ cân tại } A.
\]

### b) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành

1. **Vẽ điểm N**:
- Từ điểm \( M \), kẻ \( MO \perp AC \) và lấy điểm \( N \) sao cho \( MO = NO \).

2. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- Ta có \( AM = MC \) (vì A là đỉnh của tam giác cân) và \( MN = MO = NO \).

3. **Chứng minh tứ giác AMCN**:
- Vì \( MO \parallel AC \) và hai đoạn \( MO \) và \( NO \) có độ dài bằng nhau, nên tứ giác AMCN là hình bình hành.
- Suy ra các cạnh \( AN = MC \) và \( AM = CN \).

Từ đây, ta có kết luận rằng ΔAMC là tam giác cân và tứ giác AMCN là hình bình hành.