Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD), gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường thẳng MN cắt BD tại I, cắt AC tại K

Để chứng minh các đẳng thức trong hình thang ABCD, ta thực hiện từng bước như sau:

1. **Chứng minh \( MN \parallel AB \) và \( MN \parallel CD \)**:
- Khi tại \( M \) là trung điểm của \( AD \) và \( N \) là trung điểm của \( BC \), theo tính chất của hình thang, đường thẳng nối hai trung điểm sẽ song song với các cạnh đáy.
- Ta có thể sử dụng định lý về trung bình cạnh để chứng minh: \( MN = \frac{AB + CD}{2} \) (không cần thiết cho chứng minh).

2. **Chứng minh \( KA = KC \) và \( IB = ID \)**:
- Xét tam giác \( AKC \) và \( BID \):
- Do \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm nên các đoạn thẳng \( KA \) và \( KC \) bằng nhau.
- Tương tự đối với \( IB \) và \( ID \).

3. **Chứng minh \( MI = NK \)**:
- Từ hai tam giác \( MNI \) và \( NKI \), ta có:
- Cả hai tam giác này có chung cạnh \( NI \) và đều có độ dài bằng nhau.
- Từ đó có thể suy ra rằng \( MI = NK \) theo định lý đường trung bình hoặc tính chất của hình thang.

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn trong việc giải bài toán!