Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Tính cạnh BC, góc B, góc C

1. **Tính cạnh BC**:
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC tại A:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay giá trị vào:
\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính góc B**:
- Ta sử dụng định nghĩa của tang góc trong tam giác vuông:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]
- Tính góc B:
\[
B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ \approx 53^\circ \text{ (làm tròn đến độ)}
\]

3. **Tính góc C**:
- Trong tam giác vuông tổng các góc bằng 180 độ:
\[
C = 90^\circ - B \approx 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ
\]

### Kết quả phần a):
- Cạnh BC = 10 cm
- Góc B ≈ 53°
- Góc C ≈ 37°

### b) Phần giáp góc ABC cắt cạnh AC tại E

- Theo giả thiết của bài toán, có thể sử dụng hình vẽ để xác định các điểm D và I, nhưng cần phải biết thêm các thông tin cụ thể để thực hiện tính toán.

- Để chứng minh \( IA \cdot IB = ID \cdot IC \) và \( IA \cdot AB = 2AD \cdot ID - AI^2 \), cần phải sử dụng các kiến thức về tính chất của tỉ lệ và cảm giác.

Tuy nhiên, với thông tin hiện tại, bạn nên cung cấp thêm chi tiết về hình vẽ để có thể thực hiện phần này cụ thể hơn.