Tính giá trị nhỏ nhất của A

Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 4(x^2 + y^2) \) dưới điều kiện \( x^2 + y^2 = 2xy + 4 \).

Đầu tiên, ta có thể viết lại điều kiện \( x^2 + y^2 = 2xy + 4 \) thành:

\[
x^2 - 2xy + y^2 = 4
\]

Ta nhận thấy rằng:

\[
(x - y)^2 = 4
\]

Từ đó, chúng ta có hai trường hợp: \( x - y = 2 \) hoặc \( x - y = -2 \).

1. **Trường hợp 1: \( x - y = 2 \)**

Giả sử \( x = y + 2 \). Thay vào điều kiện:

\[
x^2 + y^2 = (y + 2)^2 + y^2 = y^2 + 4y + 4 + y^2 = 2y^2 + 4y + 4
\]

Và có \( 2xy + 4 \):

\[
2xy + 4 = 2(y + 2)y + 4 = 2y^2 + 4y + 4
\]

Hai vế bằng nhau, nên điều kiện thỏa mãn.

Tính \( A \):

\[
A = 4(x^2 + y^2) = 4(2y^2 + 4y + 4) = 8y^2 + 16y + 16
\]

Bây giờ tìm cực tiểu của bậc 2:

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta dùng định lý về giá trị cực tiểu của biểu thức bậc 2 \( ax^2 + bx + c \), với \( a > 0 \):

\[
y = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{16} = -1
\]

Tính \( A \):

\[
A(-1) = 8(-1)^2 + 16(-1) + 16 = 8 - 16 + 16 = 8
\]

2. **Trường hợp 2: \( x - y = -2 \)**

Tương tự, đặt \( x = y - 2 \) và thay vào điều kiện:

\[
x^2 + y^2 = (y - 2)^2 + y^2 = y^2 - 4y + 4 + y^2 = 2y^2 - 4y + 4
\]

Và có \( 2xy + 4 \):

\[
2(y - 2)y + 4 = 2y^2 - 4y + 4
\]

Hai vế cũng bằng nhau.

Tính \( A \):

\[
A = 4(x^2 + y^2) = 4(2y^2 - 4y + 4) = 8y^2 - 16y + 16
\]

Tìm cực tiểu:

\[
y = -\frac{-16}{2 \cdot 8} = 1
\]

Tính \( A \):

\[
A(1) = 8(1)^2 - 16(1) + 16 = 8 - 16 + 16 = 8
\]

Cuối cùng, giá trị nhỏ nhất của \( A \) từ cả hai trường hợp là:

\[
\boxed{8}
\]