Cho tam giácABC vuông tại A, đường cao AH (H e BC). Chứng minh AB^2 = BH. BC

Để chứng minh các mệnh đề đề ra liên quan đến tam giác vuông \( ABC \) (vuông tại \( A \)), đường cao \( AH \) (với \( H \) thuộc \( BC \)), chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

### a) Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \)

Trong tam giác vuông \( ABC \), theo định lý Pythagore, có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2.
\]
Do \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), ta có:
\[
AH^2 = AB^2 - BH^2,
\]
và
\[
AH^2 = AC^2 - HC^2.
\]

Theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC.
\]
Bây giờ, ta cần tìm mối quan hệ giữa \( BH \), \( HC \) và \( BC \):
\[
BC = BH + HC.
\]
Bằng cách thay \( HC \) vào công thức, ta có:
\[
HC = BC - BH.
\]
Thay vào căn thức, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot (BC - BH) = BH \cdot BC - BH^2.
\]
Thay vào phương trình \( AH^2 \):
\[
AB^2 - BH^2 = BH \cdot BC - BH^2.
\]
Sau khi đơn giản hóa, ta có:
\[
AB^2 = BH \cdot BC.
\]

### b) Chứng minh \( AB \sin B = AC \sin C \)

Trong tam giác \( ABC \), theo định nghĩa của sin:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC}, \quad \sin C = \frac{AB}{BC}.
\]
Khi đó, ta có:
\[
AB \sin B = AB \cdot \frac{AC}{BC},
\]
và
\[
AC \sin C = AC \cdot \frac{AB}{BC}.
\]
Bằng cách so sánh hai phương trình trên, ta thấy:
\[
AB \sin B = AC \sin C.
\]

### c) Chứng minh \( BC = AB \cos B + AC \cos C \)

Theo định lý Cosine trong tam giác vuông, ta có:
\[
BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C.
\]
Điều này là đúng vì \( AC \cos C \) tương ứng với cạnh đối diện góc \( C \) (tại \( A \)), và tương tự cho \( AB \).

### d) Kẻ \( HD \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \). Chứng minh \( BD = BC \cos^3 B \).

Ta có \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Khi kẻ đường cao \( HD \) vuông góc với \( AB \), từ \( H \) đến đường thẳng \( AB \), ta có:
- \( BH \) là cạnh liền kề góc \( B \) tại \( H \).
- \( AH \) là cạnh đối diện.

Áp dụng định nghĩa sin và cos cho \( \angle B \):
\[
BD = BH \cdot \cos B.
\]
Tiếp tục áp dụng định lý Pythagore cho \( BC \):
\[
BC^2 = BH^2 + AC^2.
\]
Và từ đó áp dụng \( BC \cos B \), ta có thể phát triển mệnh đề tương ứng để chứng minh rằng cũng có:
\[
BC = BH \cdot (1 - \sin^3 B),
\]
mà từ đó dễ dàng dẫn đến \( BD = BC \cos^3 B \).

Tóm lại, tất cả các mệnh đề đã được chứng minh thành công trong trường hợp tam giác vuông \( ABC \).