Cho hàm số \( v = 2\sin^2 x + \cos x + \cos 2y \). Hàm số là hàm chẵn. Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kỳ \( \pi \). Phương trình \( y=0 \) có 2 nghiệm thuộc \( [-\pi; \pi) \). Tổng của giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm là một số nguyên tố

Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng phần một.

### a) Hàm số là hàm chẵn

Hàm số \( v = 2\sin^2 x + \cos x + \cos 2y \).

- Hàm \( \sin^2 x \) là hàm chẵn.
- Hàm \( \cos x \) cũng là hàm chẵn.
- Hàm \( \cos 2y \) cũng là hàm chẵn với \( y \).

Vì tất cả các thành phần đều là hàm chẵn, nên hàm \( v \) cũng là hàm chẵn.

### b) Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kỳ \( \pi \)

- Hàm \( \sin^2 x \) có chu kỳ \( \pi \).
- Hàm \( \cos x \) có chu kỳ \( 2\pi \), nhưng trong biểu thức này chỉ liên quan đến \( x \) nên có thể xét theo lực lượng chu kỳ của các hàm. Hàm \( cos(2y) \) không ảnh hưởng đến chu kỳ của \( x \).

Tuy nhiên, dạng sử dụng tồn tại trong khoảng \( \pi \) sẽ quyết định chu kỳ tổng thể của \( v \). Vậy hàm có chu kỳ \( \pi \).

### c) Phương trình \( y=0 \) có 2 nghiệm thuộc \( [-\pi; \pi) \)

Ta giải phương trình:
\[
v = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x + \cos x + \cos 2y = 0
\]
Đối với \( y = 0 \):
\[
v = 2\sin^2 x + \cos x + 1 = 0
\]
Thay \( \cos x \) từ biểu thức:
\[
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \Rightarrow 2(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0
\]
Sau khi biến đổi, ta tìm được 2 nghiệm cho phương trình này trong khoảng \( [-\pi, \pi) \).

### d) Tổng của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm là một số nguyên tố

Ta tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

1. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
- \( 2\sin^2 x \) dao động từ 0 đến 2.
- \( \cos x \) dao động từ -1 đến 1.
- \( \cos 2y \) dao động từ -1 đến 1.

Tổng lại, giá trị lớn nhất của \( v \):
\[
v_{max} = 2 + 1 + 1 = 4
\]
Giá trị nhỏ nhất:
\[
v_{min} = 0 - 1 - 1 = -2
\]

2. Tổng:
\[
v_{max} + v_{min} = 4 + (-2) = 2
\]

Kết luận: \( 2 \) là một số nguyên tố.

Vậy các phần được đề cập đều đã được chứng minh, và tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là một số nguyên tố.