Để giải phương trình

\[
\frac{2}{3} \cdot 3^{x+1} - 7 \cdot 3^x = -405,
\]

trước tiên, ta có thể biến đổi phương trình bằng cách đưa các hạng tử giống nhau về một phía.

Biến đổi biểu thức:

\[
\frac{2}{3} \cdot 3^{x+1} = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot 3^x = 2 \cdot 3^x.
\]

Do đó phương trình trở thành:

\[
2 \cdot 3^x - 7 \cdot 3^x = -405.
\]

Kết hợp các hạng tử:

\[
(2 - 7) \cdot 3^x = -405,
\]

hay

\[
-5 \cdot 3^x = -405.
\]

Chia cả hai vế cho -5:

\[
3^x = \frac{405}{5} = 81.
\]

Ta có:

\[
3^x = 3^4.
\]

Do đó, suy ra:

\[
x = 4.
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 4 \).