Để hàm số \( y = \sqrt{2 \cos x - m} \) xác định trên \(\mathbb{R}\), biểu thức bên trong dấu căn phải không âm, tức là:

\[
2 \cos x - m \geq 0
\]

Từ đó, ta có:

\[
m \leq 2 \cos x
\]

Biết rằng giá trị của \(\cos x\) dao động trong khoảng \([-1, 1]\), nên \(2 \cos x\) sẽ dao động trong khoảng \([-2, 2]\). Do đó, giá trị lớn nhất của \(2 \cos x\) là \(2\) và giá trị nhỏ nhất của \(2 \cos x\) là \(-2\).

Vì vậy, để \( m \) thỏa mãn điều kiện \( m \leq 2 \cos x \) cho mọi \( x \), chúng ta có:

\[
m \leq 2
\]

Đồng thời, \( m \) phải lớn hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất là \( -2\) để miền xác định có chứa hằng số \(-2\). Để hàm số chỉ xác định trong nửa khoảng \((-∞; \alpha]\), ta cần điều kiện trên đạt được tại \( m = 2 \).

Vậy, tập hợp các giá trị của \( m \) sẽ là khoảng \((-∞, 2]\), điều này cho thấy \(\alpha = 2\).

Giá trị của \( a \) bằng \( 2 \).