Để chứng minh biểu thức sau:

\[
2\sqrt{2}(2 - 3\sqrt{3}) + (1 - 2\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{6} = 9
\]

Chúng ta sẽ tính từng thành phần trong biểu thức và sau đó cộng chúng lại.

1. **Tính \( 2\sqrt{2}(2 - 3\sqrt{3}) \)**:
\[
2\sqrt{2} \cdot 2 - 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} = 4\sqrt{2} - 6\sqrt{6}
\]

2. **Tính \( (1 - 2\sqrt{2})^2 \)**:
\[
(1 - 2\sqrt{2})(1 - 2\sqrt{2}) = 1 - 4\sqrt{2} + 8 = 9 - 4\sqrt{2}
\]

3. **Tính \( 6\sqrt{6} \)**:
\[
6\sqrt{6} \text{ vẫn giữ nguyên}
\]

4. **Cộng các kết quả lại**:
\[
(4\sqrt{2} - 6\sqrt{6}) + (9 - 4\sqrt{2}) + 6\sqrt{6}
\]

Bây giờ gộp các thành phần lại:
- Các số hạng có \(\sqrt{2}\):
\[
4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 0
\]
- Các số hạng có \(\sqrt{6}\):
\[
-6\sqrt{6} + 6\sqrt{6} = 0
\]
- Các hằng số:
\[
9
\]

Kết quả là:
\[
0 + 0 + 9 = 9
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng biểu thức trên là đúng:
\[
2\sqrt{2}(2 - 3\sqrt{3}) + (1 - 2\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{6} = 9
\]