Để giải bài toán này, ta lần lượt thực hiện từng phần a, b, c.

### Phần a: Rút gọn biểu thức \( M \)

Biểu thức \( M \) được cho bởi:

\[
M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} + \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}} + \frac{2\sqrt{x+4}}{4-x}
\]

1. **Tìm miền xác định**:

- Điều kiện \( x \geq 0 \)
- \( x + 2 \geq 0 \) (luôn đúng với \( x \geq 0 \))
- \( x - 2 \geq 0 \) dẫn đến \( x \geq 2 \)
- \( 4 - x \neq 0 \) dẫn đến \( x \neq 4 \)

Từ đó, miền xác định của \( M \) là \( x \in [2, 4) \cup (4, +\infty) \).

2. **Rút gọn**:

Thực hiện từng phần của biểu thức:

\[
M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} + \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}} + \frac{2\sqrt{x+4}}{4-x}
\]

Ta có thể xem xét các hạng tử riêng lẻ và tìm cách rút gọn chúng, nhưng cách tốt nhất để tìm giá trị của \( M \) có thể là thực hiện giá trị cho một số giá trị cụ thể trong miền xác định.

### Phần b: Tìm \( x \) biết \( |M| = M \)

Để có \( |M| = M \), thì \( M \) phải không âm, nghĩa là:

\[
M \geq 0
\]

Trường hợp này thường xảy ra trong miền xác định của \( M \).

### Phần c: Tìm các số nguyên \( x \) để \( M \) nhận giá trị nguyên

Ta sẽ thế các giá trị nguyên của \( x \) trong miền xác định.

- Với \( x = 2 \):

\[
M = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} + \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{0}} + \frac{2\sqrt{6}}{2} \text{ (không xác định)}
\]

- Với \( x = 3 \):

\[
M = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}} + \frac{2\sqrt{7}}{1}
\]

- Với \( x = 4 \):

\[
M \text{ (không xác định)}
\]

Khi thử các giá trị khác, ta có:

- \( M \) không nhận giá trị nguyên cho \( x = 2, 3 \) trong miền này.

Do đó, cần xem xét nhiều giá trị hơn và muốn giá trị nguyên trong miền được xác định, ta quyết định thử với một số giá trị nguyên khác.

Kiểm tra giá trị trong khoảng \( [2, 4) \) có thể cho kết quả không tốt, nhưng cần chú ý để thử thêm trong miền xác định với phần rút gọn, cuối cùng có thể cần đến một phân tích hoặc biểu thức chuẩn khác.

Tóm lại:

- \( M \) có thể không nhận giá trị nguyên trong miền này. Cần kiểm tra có thể đưa thêm hàm số để giải thích rõ hơn.