Cho hai biểu thức: M = (x + 2y)(x - 2y) \) và N = x^2 + xy + y^2

Để giải bài toán này, ta có hai biểu thức:

- \( M = (x + 2y)(x - 2y) - (x^2 - 4y^2 - 5) \)
- \( N = x^2 + xy + y^2 \)

### a) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức \( M \) không phụ thuộc vào giá trị của \( x \) và \( y \).

1. **Khai triển biểu thức \( M \)**:
\[
(x + 2y)(x - 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2
\]
Vậy:
\[
M = x^2 - 4y^2 - (x^2 - 4y^2 - 5) = x^2 - 4y^2 - x^2 + 4y^2 + 5 = 5
\]
Ta thấy \( M = 5 \), do đó giá trị của \( M \) hoàn toàn không phụ thuộc vào \( x \) và \( y \).

### b) Tính giá trị của biểu thức \( A = M + N \) khi \( x + y = 3 \) và \( xy = -4 \).

1. **Tính giá trị của \( N \)**:
Sử dụng công thức \( N = x^2 + xy + y^2 \) và \( x+y = 3 \), ta có:
\[
y = 3 - x
\]
Thay vào \( xy = -4 \):
\[
x(3 - x) = -4 \Rightarrow 3x - x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0
\]
Giải phương trình bậc 2:
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}
\]
Nhận được hai nghiệm:
\[
x_1 = 4, \quad x_2 = -1
\]

2. **Tính giá trị của \( y \)**:
- Nếu \( x = 4 \), thì \( y = 3 - 4 = -1 \).
- Nếu \( x = -1 \), thì \( y = 3 - (-1) = 4 \).

3. **Tính giá trị của \( N \)**:
Trong cả hai trường hợp:
\[
N = x^2 + xy + y^2 = 4^2 + 4(-1) + (-1)^2 = 16 - 4 + 1 = 13
\]
và:
\[
N = (-1)^2 + (-1)(4) + 4^2 = 1 - 4 + 16 = 13
\]

4. **Tính giá trị của \( A \)**:
\[
A = M + N = 5 + 13 = 18
\]

### Kết quả:
- Giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x + y = 3 \) và \( xy = -4 \) là \( 18 \).