Chứng minh rằng (64^19-32^11-16^13) chia hết cho 19

Để chứng minh rằng \(64^{19} - 32^{11} - 16^{13}\) chia hết cho 19, chúng ta sẽ sử dụng định lý Fermat.

Theo định lý Fermat, nếu \(p\) là một số nguyên tố và \(a\) là một số nguyên không chia hết cho \(p\), thì \(a^{p-1} \equiv 1 \mod p\).

Ở đây, \(p = 19\). Chúng ta sẽ tính \(64^{19}\), \(32^{11}\) và \(16^{13}\) modulo 19.

1. **Tính \(64 \mod 19\)**:
\[
64 = 19 \times 3 + 7 \quad \Rightarrow \quad 64 \equiv 7 \mod 19
\]

2. **Tính \(32 \mod 19\)**:
\[
32 = 19 \times 1 + 13 \quad \Rightarrow \quad 32 \equiv 13 \mod 19
\]

3. **Tính \(16 \mod 19\)**:
\[
16 \equiv 16 \mod 19
\]

Bây giờ chúng ta có thể thay thế \(64\), \(32\) và \(16\) trong biểu thức ban đầu:

\[
64^{19} - 32^{11} - 16^{13} \equiv 7^{19} - 13^{11} - 16^{13} \mod 19
\]

4. **Tính \(7^{19} \mod 19\)**:
Theo định lý Fermat:
\[
7^{18} \equiv 1 \mod 19 \quad \Rightarrow \quad 7^{19} \equiv 7 \cdot 7^{18} \equiv 7 \cdot 1 \equiv 7 \mod 19
\]

5. **Tính \(13^{11} \mod 19\)**:
Chúng ta sẽ tính \(13^2 \mod 19\):
\[
13^2 = 169
\]
\[
169 \mod 19 = 7 \quad (\text{vì } 169 = 19 \cdot 8 + 7)
\]
Bây giờ tính tiếp:
\[
13^4 = (13^2)^2 \equiv 7^2 \equiv 49 \mod 19 \equiv 11 \quad (\text{vì } 49 = 19 \cdot 2 + 11)
\]
\[
13^8 = (13^4)^2 \equiv 11^2 = 121 \mod 19 \equiv 6 \quad (\text{vì } 121 = 19 \cdot 6 + 7)
\]
Giờ chúng ta tính \(13^{11} = 13^8 \cdot 13^2 \cdot 13\):
\[
13^{11} \equiv 6 \cdot 7 \cdot 13 \mod 19
\]
Tính \(6 \cdot 7 = 42 \equiv 4 \mod 19\), rồi,
\[
4 \cdot 13 = 52 \equiv 14 \mod 19
\]

6. **Tính \(16^{13} \mod 19\)**:
Tương tự như trước, chúng ta tính \(16^2 = 256 \equiv 9 \mod 19\),
\[
16^4 \equiv 9^2 \equiv 5 \mod 19
\]
\[
16^8 \equiv 5^2 \equiv 6 \mod 19
\]
Tính \(16^{13} = 16^8 \cdot 16^4 \cdot 16\):
\[
16^{13} \equiv 6 \cdot 5 \cdot 16 = 30 \cdot 16 \equiv 11 \mod 19
\]

7. **Kết hợp lại**:
Giờ ta có:
\[
64^{19} - 32^{11} - 16^{13} \equiv 7 - 14 - 11 \mod 19
\]
Tính kết quả:
\[
7 - 14 - 11 \equiv 7 - 25 \equiv 7 - 6 \equiv 0 \mod 19
\]

Vậy kết luận rằng \(64^{19} - 32^{11} - 16^{13}\) chia hết cho 19.