Tính lim của biểu thức

Để tính giới hạn

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n}{\sqrt{4n + 1}},
\]

trước tiên ta sẽ phân tích biểu thức.

Thay đổi biểu thức trong giới hạn:

\[
\frac{n^2 - n}{\sqrt{4n + 1}} = \frac{n^2(1 - \frac{1}{n})}{\sqrt{4n + 1}}.
\]

Khi \(n\) tiến tới vô cùng (\(n \to \infty\)), chúng ta sẽ làm giản lược biểu thức bằng cách chia cả tử và mẫu cho \(n^{1/2}\):

\[
= \frac{n^2(1 - \frac{1}{n})}{\sqrt{4n + 1}} = n^{3/2} \cdot \frac{1 - \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}}}.
\]

Bây giờ, khi \(n \to \infty\):

- \(1 - \frac{1}{n} \to 1\),
- \(\sqrt{4 + \frac{1}{n}} \to \sqrt{4} = 2\).

Do đó, giới hạn trở thành:

\[
\lim_{n \to \infty} n^{3/2} \cdot \frac{1 - \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}}} = \lim_{n \to \infty} n^{3/2} \cdot \frac{1}{2} = \infty.
\]

Vậy, giới hạn \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n}{\sqrt{4n + 1}} = \infty\).