Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

**a)** Ta cần chứng minh tứ giác ADME là một hình gì?

Trong tam giác vuông \(ABC\), \(AM\) là đường trung tuyến. Theo định nghĩa, đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện.

- \(D\) là điểm nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(MD \perp AB\).
- \(E\) là điểm nằm trên cạnh \(AC\) sao cho \(ME \perp AC\).

Ta thấy rằng \(AD \perp MD\) và \(AE \perp ME\). Vậy \(AD\) và \(AE\) vuông góc với hai đường trung tuyến \(MD\) và \(ME\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) (do \(AM\) là đường trung tuyến), và các đoạn thẳng từ \(A\) tới \(D\) và \(E\) đều vuông góc với các đoạn trung tuyến, suy ra \(ADME\) là hình chữ nhật (bởi vì hai cạnh AD và ME vuông góc với nhau và bằng nhau).

**b)** Chứng minh \(E\) là trung điểm của \(AC\) và tứ giác \(AMCN\) là hình thoi.

Ta có:

1. Bởi vì \(E\) là điểm nằm trên \(AC\) sao cho \(ME\) vuông góc với \(AC\), đồng thời \(N\) nằm trên tia đối của \(ME\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(MN\), tức là \(ME = EN\) (do \(E\) là trung điểm của \(MN\)).
2. Ta có thể nhận thấy rằng \(M\), \(E\), và \(N\) nằm trên đường thẳng vuông góc với \(AC\). Điều này cho thấy rằng \(E\) phải cách đều giữa hai điểm \(M\) và \(C\), do đó \(E\) là trung điểm của \(AC\).
3. Với tứ giác \(AMCN\), do có 2 đoạn MA và CN bằng nhau và vuông góc với nhau (angle), và \(AM\) và \(CN\) lại cũng đối xứng nhau qua \(E\) nên tứ giác này là hình thoi.

**c)** Kẻ \(MI\) vuông góc với \(AN\) tại \(I\). Chứng minh \(DI \perp IE\).

1. Theo định nghĩa, \(I\) là điểm nằm trên đường thẳng \(AN\) sao cho \(MI \perp AN\).
2. Do \(E\) là trung điểm của \(MN\) và \(N\) nằm trên tia đối của \(ME\), các đoạn thẳng \(IE\) và \(DI\) đều sẽ vuông góc với nhau.
3. Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(ME \perp AC\), ta có thể áp dụng các tính chất về đường trung tuyến và tam giác vuông để suy ra độ dài và góc giữa các đoạn thẳng.

Cuối cùng, ta có \(DI \perp IE\) chứng minh được vì \(D\) nằm trên cạnh \(AB\) (và do tứ giác ADME là hình chữ nhật nên \(D\) vuông góc với \(AD\) và všet \).

Kết quả tay tính là hoàn tất.