Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của các đường tròn và các tiếp tuyến.

### a. Chứng minh MN // OC.

**Giả thiết:**
- Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại A, với bán kính R > R'.
- Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O') tại B và cắt (O) tại C.
- Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại M và N.

**Chứng minh:**
1. Do (O) và (O') tiếp xúc trong tại A, nên OA = R; OA' = R', và A là tiếp điểm.
2. Tiếp tuyến tại B với (O') tạo ra một góc vuông với đường đi từ O' đến B, tức là ∠O'BM = ∠O'BN = 90°.
3. Do điểm B nằm trên đường thẳng d (qua A) cắt (O'), nên B cũng nằm trên đường thẳng kéo dài từ A theo hướng d.
4. Vì MN là tiếp tuyến nên góc ∠MAB = ∠O'BA và ∠NAB = ∠O'BA cũng là hai góc vuông (do tính chất tiếp tuyến).
5. Suy ra, hai tam giác O'BM và O'BN có hai cặp góc vuông tương ứng với hai cặp góc ở B.
6. Từ đó, ta có MN // OC theo tiên đề về tính chất song song của các đường thẳng trong cùng một mặt phẳng.

### b. Chứng minh MA.C = NA.C.

**Chứng minh:**
1. Từ chứng minh ở phần a, ta đã có MN // OC, tức là ∠MAB = ∠CAB và ∠NAB = ∠CAB.
2. Do đó, M, A, C, và N cùng nằm trên một mặt phẳng, và có thể sử dụng định lý về tích các cạnh trong hình tam giác.
3. Từ tỉ lệ của các độ dài cạnh trong cùng một tam giác, có thể viết:
\[
\frac{MA}{NA} = \frac{OC}{OC} \quad \text{(vì OC = OC là độ dài không đổi)}
\]
4. Suy ra, MA * AC = NA * AC, do đó, ta có MA.C = NA.C.

Vậy chúng ta đã chứng minh được cả hai điều cần chứng minh.