Giải phương trình

Để giải phương trình

\[
\frac{1}{x^2 - 2x + 2} + \frac{2}{x^2 - 2x + 3} = \frac{6}{x^2 - 2x + 4},
\]

ta có thể đặt:

\[
y = x^2 - 2x.
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
\frac{1}{y + 2} + \frac{2}{y + 3} = \frac{6}{y + 4}.
\]

Bây giờ ta sẽ nhân cả hai vế với \((y + 2)(y + 3)(y + 4)\) để loại bỏ mẫu số:

\[
(y + 3)(y + 4) + 2(y + 2)(y + 4) = 6(y + 2)(y + 3).
\]

Giải từng phần:

1. \( (y + 3)(y + 4) = y^2 + 7y + 12 \)
2. \( 2(y + 2)(y + 4) = 2(y^2 + 6y + 8) = 2y^2 + 12y + 16 \)
3. \( 6(y + 2)(y + 3) = 6(y^2 + 5y + 6) = 6y^2 + 30y + 36 \)

Thay vào phương trình ta có:

\[
y^2 + 7y + 12 + 2y^2 + 12y + 16 = 6y^2 + 30y + 36.
\]

Gom nhóm lại ta có:

\[
3y^2 + 19y + 28 = 6y^2 + 30y + 36.
\]

Chuyển các hạng tử về cùng một phía:

\[
0 = 3y^2 + 11y + 8.
\]

Giải phương trình bậc 2 này bằng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}.
\]

Tính các hạng tử:

\[
b^2 - 4ac = 121 - 96 = 25.
\]

Vì vậy:

\[
y = \frac{-11 \pm 5}{6}.
\]

Tính hai nghiệm:

1. \( y_1 = \frac{-6}{6} = -1 \)
2. \( y_2 = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \)

Quay lại với \(y = x^2 - 2x\):

1. Với \(y = -1\):

\[
x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1.
\]

2. Với \(y = -\frac{8}{3}\):

\[
x^2 - 2x + \frac{8}{3} = 0.
\]

Nhân cả phương trình với 3 để loại bỏ mẫu:

\[
3x^2 - 6x + 8 = 0.
\]

Tính delta của phương trình này:

\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 36 - 96 = -60.
\]

Vì Delta âm nên phương trình này không có nghiệm thực.

Kết luận, phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là \( x = 1 \).