Để giải bài toán, trước tiên ta viết lại biểu thức cho \( M \):

\[
M = \sqrt{x} - \frac{1}{5}
\]

Để \( M \) là một số nguyên, ta có thể viết lại:

\[
\sqrt{x} = M + \frac{1}{5}
\]

Bình phương hai vế ta được:

\[
x = \left(M + \frac{1}{5}\right)^2 = M^2 + \frac{2M}{5} + \frac{1}{25}
\]

Ta cần tìm giá trị của \( x \) là số chính phương và thỏa mãn \( x < 100 \). Do đó, ta có:

\[
x < 100
\]

Từ đó ta có:

\[
M^2 + \frac{2M}{5} + \frac{1}{25} < 100
\]

Trong đó, để \( x \) là số chính phương, tức là \( x = n^2 \) với \( n \) là số nguyên. Vậy ta sẽ tìm giá trị cho \( n^2 < 100 \), tức là \( n \) có thể nhận các giá trị từ 0 đến 9 (tương ứng với \( n^2 \) là 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100).

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra các giá trị của \( n \) từ 0 đến 9 để xác định khi nào giá trị \( M = \sqrt{n^2} - \frac{1}{5} \) là nguyên.

- \( n = 0: \)
\[
M = 0 - \frac{1}{5} = -\frac{1}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

- \( n = 1: \)
\[
M = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

- \( n = 2: \)
\[
M = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

- \( n = 3: \)
\[
M = 3 - \frac{1}{5} = \frac{14}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

- \( n = 4: \)
\[
M = 4 - \frac{1}{5} = \frac{19}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

- \( n = 5: \)
\[
M = 5 - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

- \( n = 6: \)
\[
M = 6 - \frac{1}{5} = \frac{29}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

- \( n = 7: \)
\[
M = 7 - \frac{1}{5} = \frac{34}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

- \( n = 8: \)
\[
M = 8 - \frac{1}{5} = \frac{39}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

- \( n = 9: \)
\[
M = 9 - \frac{1}{5} = \frac{44}{5} \quad (không phải nguyên)
\]

Qua tất cả các giá trị của \( n \) từ 0 đến 9, không có giá trị nào của \( M \) là số nguyên.

Do đó, không có số chính phương \( x < 100 \) sao cho \( M \) có giá trị nguyên.