Để chứng minh \( A = 7 + 7^2 + 7^3 + \ldots + 7^{20} \) chia hết cho 57, ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số nhân.

1. **Tính tổng A**:
Tổng \( A \) là một cấp số nhân với công bội \( r = 7 \) và số hạng đầu \( a = 7 \). Số hạng cuối là \( 7^{20} \).

Ta có công thức tổng cấp số nhân:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
Trong đó \( n \) là số hạng, ở đây \( n = 20 \).

Áp dụng vào bài toán:
\[
A = 7 \cdot \frac{7^{20} - 1}{7 - 1} = 7 \cdot \frac{7^{20} - 1}{6}
\]

2. **Chứng minh \( A \) chia hết cho 57**:
Ta cần chứng minh \( A \equiv 0 \mod 57 \). Lưu ý rằng \( 57 = 3 \cdot 19 \). Vì vậy, ta kiểm tra \( A \) modulo 3 và modulo 19.

- **Tính \( A \mod 3 \)**:
\[
7 \equiv 1 \mod 3 \quad \Rightarrow \quad 7^k \equiv 1^k \equiv 1 \mod 3 \quad (k \geq 1)
\]
Do đó:
\[
A \equiv 1 + 1 + \ldots + 1 \equiv 20 \equiv 2 \mod 3
\]

- **Tính \( A \mod 19 \)**:
\[
7^{18} \equiv 1 \mod 19 \quad (theo định lý Fermat)
\]
Vì \( 20 = 18 + 2 \), ta có:
\[
7^{20} \equiv 7^2 \mod 19
\]
Tính \( 7^2 \mod 19 \):
\[
7^2 = 49 \equiv 11 \mod 19
\]
Do đó:
\[
A \equiv 7 \cdot \frac{11 - 1}{6} \equiv 7 \cdot \frac{10}{6} \mod 19
\]
Tính \( \frac{10}{6} \):
\( 6 \) và \( 19 \) nguyên tố với nhau, nên ta tìm \( 6^{-1} \mod 19 \). Sử dụng phương pháp thử:
- \( 6 \cdot 16 = 96 \equiv 1 \mod 19 \), nên \( 6^{-1} \equiv 16 \mod 19 \).
Vậy:
\[
\frac{10}{6} \equiv 10 \cdot 16 \equiv 160 \equiv 8 \mod 19
\]
Cuối cùng:
\[
A \equiv 7 \cdot 8 \equiv 56 \equiv -1 \mod 19
\]

3. **Xem xét kết hợp**:
Ta đã có:
\[
A \equiv 2 \mod 3
\]
\[
A \equiv 18 \mod 19
\]

Sử dụng quy tắc đồng dư:
- Từ \( A \equiv 18 \mod 19 \):
$$
A = 19k + 18
$$
Thay vào \( A \equiv 2 \mod 3 \):
\[
19k + 18 \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow k + 0 \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow k \equiv 2 \mod 3
\]
Vậy \( k = 3m + 2 \) với \( m \in \mathbb{Z} \), trở về tổng:
\[
A = 19(3m + 2) + 18 = 57m + 38
\]
Suy ra \( A \equiv 38 \mod 57 \).

Kết luận, \( A \) không chia hết cho 57. Tuy nhiên, \( A \equiv 38 \mod 57 \) mà không bằng 0, vì vậy điều cần chứng minh là không chính xác. Chúc bạn thành công với bài toán!