Tính tích vectơ A'D và JP

Để tính tích vectơ \( \vec{A'D} \) và \( \vec{JP} \), trước tiên chúng ta cần xác định vị trí của các điểm trong lập phương và cách tính các vectơ.

Giả sử lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \) có cạnh là 13. Các điểm có thể được xác định như sau:

- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(13, 0, 0) \)
- \( C(13, 13, 0) \)
- \( D(0, 13, 0) \)
- \( A'(0, 0, 13) \)
- \( B'(13, 0, 13) \)
- \( C'(13, 13, 13) \)
- \( D'(0, 13, 13) \)

Trọng tâm \( P \) của tam giác \( D'C'B' \) được tính bằng trung bình tọa độ các điểm \( D', C', B' \):

\[
P\left(\frac{0 + 13 + 13}{3}, \frac{13 + 13 + 0}{3}, \frac{13 + 13 + 13}{3}\right) = \left( \frac{26}{3}, \frac{26}{3}, 13 \right)
\]

Bây giờ, ta tính \( \vec{A'D} \) và \( \vec{JP} \):

- \( \vec{A'D} = D - A' = (0, 13, 0) - (0, 0, 13) = (0, 13, -13) \)

- Với \( J \) là điểm \( A \), ta có \( J(0, 0, 0) \). Vậy,
\[
\vec{JP} = P - J = \left( \frac{26}{3}, \frac{26}{3}, 13 \right) - (0, 0, 0) = \left( \frac{26}{3}, \frac{26}{3}, 13 \right)
\]

Cuối cùng là tính tích vectơ \( \vec{A'D} \) và \( \vec{JP} \):
\[
\vec{A'D} \times \vec{JP} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 13 & -13 \\
\frac{26}{3} & \frac{26}{3} & 13
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:
\[
= \hat{i} \left( 13 \cdot 13 - (-13) \cdot \frac{26}{3} \right) - \hat{j} \left( 0 \cdot 13 - (-13) \cdot \frac{26}{3} \right) + \hat{k} \left( 0 \cdot \frac{26}{3} - 13 \cdot \frac{26}{3} \right)
\]

Tính toán từng phần, chúng ta có:

- Phần \( \hat{i} \): \( 169 + \frac{338}{3} = \frac{507}{3} \)
- Phần \( \hat{j} \): \( \frac{338}{3} \)
- Phần \( \hat{k} \): \( -\frac{338}{3} \)

Do đó,
\[
\vec{A'D} \times \vec{JP} = \left( \frac{507}{3}, -\frac{338}{3}, -\frac{338}{3} \right)
\]

Kết quả của tích vectơ \( A'D \) và \( JP \) là:
\[
\left( \frac{507}{3}, -\frac{338}{3}, -\frac{338}{3} \right)
\]