Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) tại \( A \), với đường cao \( AH \) và các đoạn thời gian \( AH, CH \), ta có thể tính các cạnh và độ dài bằng các công thức liên quan đến các tam giác vuông.

### a) Biết \( AH = 12 \, \text{cm} \) và \( CH = 5 \, \text{cm} \)

1. **Tính \( AC \):**
\[
AC = AH + CH = 12 + 5 = 17 \, \text{cm}
\]

2. **Tính \( AB \):**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( AHC \):
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
Ta cần tính \( BH \).
- Để tính \( BH \), ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tìm \( BC \):
\[
BC = \sqrt{AC^2 + AB^2}
\]
Chúng ta cần tìm thêm thông tin để hoàn thành.

3. **Tính \( BC \):**
Dễ nhận thấy từ hình vẽ có thể tính thông qua:
\[
BC = AC + CH = 17 + 5 = 22 \, \text{cm}
\]

4. **Tính \( BH \):**
Áp dụng công thức cho tam giác \( BAH \):
\[
BH = \sqrt{AB^2 - AH^2}
\]

### b) Biết \( AB = 30 \, \text{cm} \), \( AH = 24 \, \text{cm} \)

1. **Tính \( AC \):**
Sử dụng định lý Pythagore:
\[
AC^2 = AB^2 - AH^2
\]
\[
AC = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18 \, \text{cm}
\]

2. **Tính \( CH \):**
Tìm \( CH \) thông qua:
\[
CH = BC - AC
\]

3. **Tính \( BC \):**
Tính \( BC \) từ:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AH^2} = \sqrt{30^2 + 24^2} = \sqrt{900 + 576} = \sqrt{1476} \approx 38.4 \, \text{cm}
\]

4. **Tính \( BH \):**
Tính như trước:
\[
BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18 \, \text{cm}
\]

Như vậy, ta đã hoàn thành các bài toán theo yêu cầu.