Để thu gọn biểu thức \( P = (4x + 3)^2 - 2x(x + 6) - 5(x - 2)(x + 2) \), trước tiên ta sẽ tính từng phần:

1. Tính \( (4x + 3)^2 \):
\[
(4x + 3)^2 = 16x^2 + 24x + 9
\]

2. Tính \( -2x(x + 6) \):
\[
-2x(x + 6) = -2x^2 - 12x
\]

3. Tính \( -5(x - 2)(x + 2) \):
\[
(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 \Rightarrow -5(x^2 - 4) = -5x^2 + 20
\]

Bây giờ ta thay các kết quả này vào \( P \):
\[
P = (16x^2 + 24x + 9) + (-2x^2 - 12x) + (-5x^2 + 20)
\]
\[
P = 16x^2 + 24x + 9 - 2x^2 - 12x - 5x^2 + 20
\]
\[
= (16x^2 - 2x^2 - 5x^2) + (24x - 12x) + (9 + 20)
\]
\[
= (9x^2) + (12x) + 29
\]
\[
P = 9x^2 + 12x + 29
\]

Để chứng minh \( P > 0 \), ta nhận thấy rằng \( P \) là một đa thức bậc hai với hệ số cao nhất dương (hệ số trước \( x^2 \) là 9).

Xét biểu thức này:
\[
P = 9x^2 + 12x + 29
\]
Áp dụng định lý về nghiệm của dạng bậc hai, chúng ta có:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 29 = 144 - 1044 = -900
\]

Vì discriminant \( \Delta < 0 \), nên phương trình bậc hai này không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là \( P(x) \) luôn dương với mọi \( x \).

Vậy ta có kết luận:
\[
P > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]