Chứng minh ANBI là hình bình hành

Để chứng minh ANBI là hình bình hành, trước hết chúng ta cần kiến thức về hình học và các tính chất của hình bình hành.

### Phần a: Tính góc HIK

1. **Cho tam giác ABC:** Ta biết góc ACB = 75°.
2. **Đường cao AH:** Cắt BC tại H. Từ A, ta có góc AHB vuông (góc AHB = 90°).
3. **Đường cao BK:** Cắt AC tại K. Từ B, ta có góc BKA vuông (góc BKA = 90°).
4. **Góc HIK:** Để tính được góc HIK, ta chú ý đến hình thành bởi hai đường cao AH và BK.

Cụ thể, các góc bên trong tam giác ACB sẽ làm tiền đề cho tính toán góc HIK.

- Từ góc ACB, ta có:
- góc CAB = α (góc A)
- góc ABC = β (góc B)

Vì tổng các góc trong tam giác ACB = 180°, nên:

\[ \alpha + \beta + 75° = 180° \]

\[ \alpha + \beta = 105° \]

5. **Góc HIK:** Tập hợp các tam giác vuông tại H và K sẽ tạo ra các góc bổ sung để tìm góc HIK.

Góc HIK sẽ tổng hợp bởi góc CAB và góc ABK, có thể được tính thông qua

\[ HIK = 90° - CAB + 90° - ABK = 180° - (CAB + ABK) \]

### Phần b: Chứng minh ANBI là hình bình hành

1. **Gọi N là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ A đến AC và từ B đến BC.**

2. **Tính tính chất của các đoạn thẳng:**
- AN và BI đều nối hai đoạn thẳng từ các đỉnh A và B đến điểm N nằm trên đường cao.
- Theo tính chất của đường vuông góc, AN và BI sẽ có tính chất song song với nhau.

3. **Tính chất song song:**
- AN // BI, vì chúng đều là những đoạn thẳng vuông góc, tức là AN = BI.

4. **Đoạn thẳng AB và đoạn thẳng NI:**
- Tương tự, từ bài lập luận, ta cho thấy AB // NI và AB = NI.

5. **Chứng minh đối diện:**
- Ta có các đoạn AN, BI bằng nhau theo hai cạnh đối diện, ANDI đồng thời song song với nhau, cho thấy ANBI là hình bình hành.

Từ đó, ta kết luận ANBI là hình bình hành nhờ vào tính chất cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.