Để thu gọn tổng \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{41} \), chúng ta sử dụng công thức tổng của cấp số nhân.

### a) Thu gọn tổng A
Tổng \( A \) là một cấp số nhân với:
- Số hạng đầu \( a = 1 \)
- Công bội \( q = 2 \)
- Số hạng cuối \( 2^{41} \)

Số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân có công thức:
\[
A_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]
Ở đây, \( n = 42 \) (từ \( 0 \) đến \( 41 \)), do đó:
\[
A = 1 \cdot \frac{2^{42} - 1}{2 - 1} = 2^{42} - 1
\]

### b) Chứng tỏ rằng A chia hết cho 3, 7

#### Chứng minh \( A \) chia hết cho 3:
Xét \( 2^{42} \mod 3 \):
- \( 2 \equiv -1 \mod 3 \)
- \( 2^{42} \equiv (-1)^{42} \equiv 1 \mod 3 \)

Do đó:
\[
A = 2^{42} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]
Vậy \( A \) chia hết cho 3.

#### Chứng minh \( A \) chia hết cho 7:
Xét \( 2^{42} \mod 7 \):
- Chu kỳ của \( 2^n \mod 7 \) là 3: \( 2^1 \equiv 2 \), \( 2^2 \equiv 4 \), \( 2^3 \equiv 1 \).

Do đó, \( 42 \mod 3 \equiv 0 \), suy ra:
\[
2^{42} \equiv 1 \mod 7
\]

Vậy:
\[
A = 2^{42} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 7
\]
Vậy \( A \) chia hết cho 7.

### Kết luận
\( A = 2^{42} - 1 \) chia hết cho cả 3 và 7.