Để tính giá trị của \( S = 4 + 4.5 + 4.5^2 + 4.5^3 + \ldots + 4.5^{1997} \), ta có thể nhận ra đây là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( a = 4 \) và tỷ số là \( q = 4.5 \).

Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu,
- \( q \) là tỷ số,
- \( n \) là số hạng của cấp số nhân.

Áp dụng công thức vào bài toán của chúng ta:

- \( a = 4 \)
- \( q = 4.5 \)
- \( n = 1998 \) (do có từ \( 4^0 \) đến \( 4.5^{1997} \))

Thay vào công thức, ta có:

\[
S = 4 \frac{1 - (4.5)^{1998}}{1 - 4.5}
\]

Tính \( 1 - 4.5 = -3.5 \):

\[
S = 4 \frac{1 - (4.5)^{1998}}{-3.5} = -\frac{4}{3.5} (1 - (4.5)^{1998}) = -\frac{8}{7} (1 - (4.5)^{1998})
\]

Vậy \( S \) sẽ có dạng:

\[
S = -\frac{8}{7} \left( 1 - (4.5)^{1998} \right)
\]

Kết quả sẽ phụ thuộc vào giá trị \( (4.5)^{1998} \), một giá trị rất lớn. Ta chủ yếu dùng công thức để tìm giá trị của \( S \).