Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đã cho, ta sẽ phân tích từng trường hợp một:

### a) \( M = x^2 - 4x + 5 \)

Biểu thức này có dạng bậc hai \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \). Ta sử dụng công thức tính cực tiểu:

\[ x_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \]

Thay \( x = 2 \) vào biểu thức:

\[ M(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \]

Giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( 1 \).

### b) \( N = y^2 - y - 3 \)

Áp dụng tương tự như trên:

\[ y_{\text{min}} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \]

Thay vào biểu thức:

\[ N\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{13}{4} \]

Giá trị nhỏ nhất của \( N \) là \( -\frac{13}{4} \).

### c) \( P = x^2 + y^2 - 4x + y + 7 \)

Áp dụng phương pháp hoàn thành bình phương cho \( x \) và \( y \):

1. Với \( x \): \( x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4 \)
2. Với \( y \): \( y^2 + y = (y+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \)

Tổng hợp lại:

\[ P = (x-2)^2 + (y+\frac{1}{2})^2 - 4 - \frac{1}{4} + 7 = (x-2)^2 + (y+\frac{1}{2})^2 + \frac{23}{4} \]

Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \frac{23}{4} \) khi \( (x-2)^2 = 0 \) và \( (y+\frac{1}{2})^2 = 0 \) (tức là \( x = 2 \) và \( y = -\frac{1}{2} \)).

### d) \( A = -x^2 - 6x + 1 \)

Biểu thức này là bậc hai với hệ số âm, do đó nó có giá trị lớn nhất. Sử dụng công thức:

\[ x_{\text{max}} = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = -3 \]

Thay vào:

\[ A(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) + 1 = -9 + 18 + 1 = 10 \]

Giá trị lớn nhất của \( A \) là \( 10 \). Không có giá trị nhỏ nhất (về lý thuyết, \( A \to -\infty \)).

### e) \( B = -x^2 + 4x + 2 \)

Biểu thức này có dạng bậc hai với \( a = -1 \) (có giá trị lớn nhất):

\[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2 \]

Thay vào:

\[ B(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 + 2 = -4 + 8 + 2 = 6 \]

Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( -\infty \) (vì có hệ số âm).

### f) \( C = x - x^2 + 2 \)

Biểu thức có dạng bậc hai với hệ số âm:

\[ x_{\text{max}} = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} \]

Thay vào:

\[ C\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} \]

Không có giá trị nhỏ nhất (giá trị nhỏ nhất là \( -\infty \)).

### Tổng kết:
- \( M_{\text{min}} = 1 \)
- \( N_{\text{min}} = -\frac{13}{4} \)
- \( P_{\text{min}} = \frac{23}{4} \)
- \( A = -\infty \)
- \( B = -\infty \)
- \( C = -\infty \)

Nếu cần thêm thông tin, hãy hỏi thêm nhé!