Gọi \( S = \{a \in \mathbb{R} | x = a \text{ hoặc } y = a \} \) là tiệm cận của \( (C) \); Tính tổng các phần tử của \( S \)

Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \( y \), ta cần phân tích từng trường hợp của hàm số.

1. **Khi \( x > 1 \)**:
\[
y = \frac{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}{x - 1}
\]

Tính giới hạn khi \( x \to 1 \):
\[
\lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}{x - 1} = \frac{\sqrt{1 - 1 + 1}}{0} = \frac{1}{0} \to +\infty
\]
Do đó, \( y \) có tiệm cận thẳng đứng tại \( x = 1 \).

2. **Khi \( x \leq 1 \)**:
\[
y = \sqrt{4x^2 + 2x + 1 + 2x + 2020} = \sqrt{4x^2 + 4x + 2021}
\]

Tính giá trị tại \( x = 1 \):
\[
y = \sqrt{4(1)^2 + 4(1) + 2021} = \sqrt{4 + 4 + 2021} = \sqrt{2029}
\]

Khi \( x \to -\infty \):
\[
\lim_{x \to -\infty} y = \sqrt{4(-\infty)^2 + 4(-\infty) + 2021} \to +\infty
\]

Do đó, xác định được tiệm cận:

- Tiệm cận thẳng đứng: \( x = 1 \)
- Không có tiệm cận ngang nào vì ở \( y \) có thể đạt giá trị \( \sqrt{2029} \) khi \( x = 1 \) và vẫn lớn khi \( x \to -\infty \).

Tổng các phần tử của \( S \):
- \( S = \{a \in \mathbb{R} | x = a \text{ hoặc } y = a \} \)
- Với \( y = \sqrt{4x^2 + 4x + 2021} \) không có giá trị cụ thể nào cho \( x \leq 1 \) ngoài \( x = 1 \).
- Giá trị duy nhất cho \( y \) tại \( x = 1 \) là \( \sqrt{2029} \).

Vậy \( S = \{1, \sqrt{2029}\} \).

Tính tổng:
\[
1 + \sqrt{2029}
\]

Do đó, tổng các phần tử của \( S \) là:
\[
\boxed{1 + \sqrt{2029}}.
\]