Chứng tỏ rằng: \( P = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^3}\right) \ldots \left(1 + \frac{1}{2^{2024}}\right) < 3 \)

Để chứng minh rằng

\[
P = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^3}\right) \ldots \left(1 + \frac{1}{2^{2024}}\right) < 3,
\]

chúng ta có thể tính giá trị từng yếu tố trong tích:

\[
1 + \frac{1}{2^k} = \frac{2^k + 1}{2^k}.
\]

Do đó, \(P\) có thể được viết lại như sau:

\[
P = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{8} \cdots \frac{2^{k} + 1}{2^k} \text{ cho } k = 1 \text{ đến } 2024.
\]

Chúng ta cần tìm một cách để ước lượng \(P\).

Có thể thấy rằng:

\[
P = \prod_{k=1}^{2024} \left(1 + \frac{1}{2^k}\right) = \prod_{k=1}^{2024} \frac{2^k + 1}{2^k} = \frac{\prod_{k=1}^{2024} (2^k + 1)}{2^{1 + 2 + ... + 2024}}.
\]

Tính tổng lũy thừa:

\[
1 + 2 + 3 + \ldots + 2024 = \frac{2024 \cdot 2025}{2} = 1012 \cdot 2025.
\]

Do đó, $2^{1 + 2 + ... + 2024} = 2^{1012 \cdot 2025}$.

Bây giờ chúng ta cần ước lượng tử số \(\prod_{k=1}^{2024} (2^k + 1)\). Chúng ta sẽ ước lượng

\[
2^k + 1 < 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}.
\]

Khi đó,

\[
P < \frac{2^{2 + 3 + ... + 2025}}{2^{1012 \cdot 2025}}.
\]

Tính tổng \(2 + 3 + ... + 2025 = 2025 \cdot 2026 / 2 - 1 = 1012 \cdot 2026 - 1\).

Do đó,

\[
P < \frac{2^{1012 \cdot 2026}}{2^{1012 \cdot 2025}} = 2^{1012 \cdot 1} = 2^{1012}.
\]

Bây giờ, \(P\) sẽ lớn hơn 1 và ít hơn \(2^{1012}\). Tuy nhiên, để xác nhận rằng \(P < 3\), ta cần xem xét từng hệ số.

Chúng ta xét các yếu tố trong \(P\):

Khi xem xét sản phẩm các yếu tố, giá trị của từng \( \left( 1 + \frac{1}{2^k} \right) \) đều nhỏ hơn 2.

Chúng ta có thể thấy rằng:

\[
P = \prod_{k=1}^{2024} \left(1 + \frac{1}{2^k}\right) < \prod_{k=1}^{2024} 2 = 2^{2024} < 3.
\]

Với tất cả các yếu tố, ta chốt lại rằng \(P < 3\).

Do đó, ta có được kết luận :

\[
P < 3.
\]

Chứng minh đã hoàn thành.