Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, \( \cos(AB, IC) = \frac{\sqrt{a}}{b} \), với I là trung điểm của AD. Tính \( 2a + b \)

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng hình học không gian kết hợp với một số kiến thức về vectơ.

### Bước 1: Xác định các điểm trong tứ diện đều

Cho tứ diện đều \( ABCD \) với cạnh \( a \). Ta có thể xác định tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 \right) \)
- \( D\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{2}}{3} \right) \)

Tọa độ điểm \( I \): Trung điểm của \( AD \) là:
\[
I\left( \frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{6}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{2}}{3}}{2} \right) = \left( \frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{12}, \frac{a\sqrt{2}}{6} \right)
\]

### Bước 2: Tính vectơ \( AB \) và \( IC \)

- Vectơ \( AB = B - A = (a, 0, 0) \)
- Vectơ \( IC = C - I = \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{12}, 0 - \frac{a\sqrt{2}}{6} \right) = \left( \frac{a}{4}, \frac{5a\sqrt{3}}{12}, -\frac{a\sqrt{2}}{6} \right) \)

### Bước 3: Tính cosin của góc giữa hai vectơ

Ta cần tính \( \cos(AB, IC) \):
\[
\cos(AB, IC) = \frac{AB \cdot IC}{|AB| |IC|}
\]
**Tính \( AB \cdot IC \)**:
\[
AB \cdot IC = a \cdot \frac{a}{4} + 0 \cdot \frac{5a\sqrt{3}}{12} + 0 \cdot -\frac{a\sqrt{2}}{6} = \frac{a^2}{4}
\]

**Tính độ dài \( |AB| \)**:
\[
|AB| = a
\]

**Tính độ dài \( |IC| \)**:
\[
|IC| = \sqrt{\left( \frac{a}{4} \right)^2 + \left( \frac{5a\sqrt{3}}{12} \right)^2 + \left( -\frac{a\sqrt{2}}{6} \right)^2}
\]
\[
= \sqrt{ \frac{a^2}{16} + \frac{25a^2}{144} + \frac{2a^2}{36} }
\]
\[
= \sqrt{ \frac{9a^2}{144} + \frac{25a^2}{144} + \frac{8a^2}{144} } = \sqrt{ \frac{42a^2}{144} } = a \cdot \sqrt{ \frac{7}{24} }
\]

### Bước 4: Tính cosin

\[
\cos(AB, IC) = \frac{\frac{a^2}{4}}{a \cdot a \cdot \sqrt{ \frac{7}{24} }} = \frac{1}{4 \sqrt{ \frac{7}{24} }} = \frac{\sqrt{\frac{24}{7}}}{4} = \frac{\sqrt{24}}{4\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{6}}{4\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}}
\]

### Bước 5: So sánh với giá trị cho trước

Theo bài toán, ta có:
\[
\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{a}}{b}
\]
Từ đó, ta có thể lập tỉ lệ để tìm \( a \) và \( b \).

### Kết luận

Tính \( 2a + b \) khi \( a \) và \( b \) có quan hệ nhất định từ tỉ lệ này. Tuy nhiên để hoàn thành, cần biết thêm thông tin về \( a \) và \( b \) để có thể tính được giá trị cụ thể cho \( 2a + b \).

Mong bạn có thể cung cấp thêm thông tin hoặc tham số cụ thể hơn!