Để chứng minh tứ giác \(MNCB\) là hình thang cân, ta thực hiện các bước sau:

### a. Chứng minh rằng tứ giác \(MNCB\) là hình thang cân

1. **Xét một số tính chất của tam giác:**
- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).
- Đường cao \(CM\) hạ từ đỉnh \(A\) xuống đáy \(BC\).

2. **Tính chất song song:**
- Từ \(M\) vẽ đoạn thẳng \(MN\) song song với \(BC\). Do đó, theo tính chất của các đường thẳng song song, ta có:
- Góc \(MNB = \angle CMB\) (góc so le trong).
- Góc \(MNC = \angle CMC\) (góc so le trong).

3. **So sánh 2 cặp góc:**
- Ta có \(\angle MNB = \angle CMB\) và \(\angle MNC = \angle CMB\).
- Điều này nghĩa là hai cặp góc tương ứng trong hai tam giác \(MNB\) và \(CMB\) bằng nhau.

4. **Kết luận:**
- Từ hai cặp góc tương ứng bằng nhau, suy ra tứ giác \(MNCB\) là hình thang cân.

### b. Tính độ dài đoạn thẳng \(BN\)

1. **Sử dụng định lý Pythagoras:**
- Trong tam giác vuông \(BMC\), ta có:
\[
BC^2 = BM^2 + MC^2
\]

2. **Biết \(BM = 3\), \(BC = 5\):**
- Thay các giá trị vào:
\[
5^2 = 3^2 + MC^2 \implies 25 = 9 + MC^2 \implies MC^2 = 16 \implies MC = 4
\]

3. **Tính độ dài của \(BN\):**
- Tam giác \(BMC\) có:
\[
BN = BM + MN = 3 + 4 = 7
\]

### c. Chứng minh ba điểm \(A, O, I\) thẳng hàng

1. **Gọi \(O\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\).**

2. **Xét các đoạn thẳng:**
- Tam giác cân \(ABC\) và giao điểm giúp khẳng định rằng \(O\) nằm trên đường thẳng \(AI\) (đường trung tuyến).

3. **Kết luận:**
- Do đó, ba điểm \(A, O, I\) thẳng hàng, cùng với việc sử dụng tính chất của tam giác và các đoạn thẳng song song.

### Tổng kết:
Từ các bước trên, ta đã chứng minh thành công rằng tứ giác \(MNCB\) là hình thang cân và tính được độ dài đoạn thẳng \(BN\).