Để chứng minh rằng \(\frac{B}{A}\) là một số nguyên, chúng ta sẽ tính cụ thể giá trị của \(A\) và \(B\).

### Tính \(A\)

Giá trị của \(A\) được xác định như sau:

\[
A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100}
\]

Chúng ta có thể đơn giản hóa từng phần tử:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Với công thức này, \(A\) sẽ trở thành tổng các phần tử của chuỗi rút gọn lại:

\[
A = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right)
\]

Hệ thống này cho thấy các phần tử lần lượt sẽ triệt tiêu nhau, để lại:

\[
A = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}
\]

### Tính \(B\)

Giá trị của \(B\) được xác định như sau:

\[
B = \frac{2024}{51} + \frac{2024}{52} + \frac{2024}{53} + \ldots + \frac{2024}{100}
\]

Chúng ta có thể khai thác phần tử:

\[
B = 2024 \left( \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{100} \right)
\]

### Tính tỉ lệ \(\frac{B}{A}\)

Bây giờ chúng ta cần tính \(\frac{B}{A}\):

\[
\frac{B}{A} = \frac{B}{\frac{99}{100}} = \frac{100B}{99}
\]

Thay \(B\) vào:

\[
\frac{B}{A} = \frac{100 \cdot 2024 \left( \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{100} \right)}{99}
\]

### Khẳng định \(\frac{B}{A}\) là số nguyên

Để chứng minh rằng \(\frac{B}{A}\) là một số nguyên, chúng ta cần xem xét tính nguyên của phần tử \( 100 \cdot 2024 \left( \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{100} \right) / 99\).

Chú ý rằng tổng:

\[
\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{100}
\]

là tổng của các phân số, có mẫu số là tích của các số nguyên từ 51 đến 100. Để chứng minh tỉ lệ này là một số nguyên, ta chỉ cần chứng minh rằng tử số chia cho mẫu số là một số nguyên.

Bởi vì 2024 chia cho cả 51, 52, 53,..., 100 đều cho kết quả là nguyên và \(100\) có thể chia cho \(99\) (không có phần dư), nên kết luận rằng:

\[
\frac{B}{A} \text{ là một số nguyên.}
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng \(\frac{B}{A}\) là một số nguyên.