Cho tam giác ABCD vuông tại A, có AB < AC, đường cao AH và đường trung tuyến AE. Gọi D, F lần lượt là hình chiếu của E trên AB, AC. Gọi O là giao điểm của AE và DF

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Vẽ hình biểu diễn
Đầu tiên, chúng ta cần vẽ hình. Dưới đây là mô tả các điểm:
- Vẽ tam giác vuông ABC với A ở góc vuông, B trên trục hoành (AB) và C trên trục tung (AC).
- Đánh dấu các điểm AB, AC, AH (đường cao), AE (đường trung tuyến).
- Xác định các điểm D, F là hình chiếu của E lên AB và AC.
- Xác định giao điểm O của AE và DF.

### b) Chứng minh DAFE là hình chữ nhật
Để chứng minh DAFE là hình chữ nhật, chúng ta cần chỉ ra rằng:
1. AD // EF và DA = EF
2. AE // DF và AE = DF

- **AD // EF**: D là hình chiếu của E trên AB nên AD vuông góc với AB, tương tự, F là hình chiếu của E trên AC nên EF vuông góc với AC. Do A, B, C là ba điểm vuông góc, nên AD // EF.
- **DA = EF**: Vì D là hình chiếu của E lên AB, nên DA là đoạn thẳng vuông góc với AB. Tương tự, EF là đoạn thẳng vuông góc với AC nên cũng có chiều dài bằng DA.
- **AE // DF** và **AE = DF**: Bởi vì AE là trung tuyến nên AE sẽ cắt AB và AC tại điểm giữa với vị trí của D và F.

Vì vậy, DAFE là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh DF // BC
- Bởi vì DF là đoạn thẳng nối giữa hai điểm D và F, mà hình theo hình chữ nhật ở trên, DF sẽ vuông góc với AD và EF.
- BC là cạnh đối diện với AB và AC, do đó, DF // BC.

### d) Chứng minh BDFE là hình bình hành
- Theo định nghĩa hình bình hành, nếu hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, thì đó là hình bình hành.
- Ta đã chứng minh DF // BC và DA = EF.
- Do đó, BDFE là hình bình hành.

### e) Chứng minh F là trung điểm của AC
Đường trung tuyến AE chia đoạn AC thành hai phần bằng nhau, tức là nếu AE là trung tuyến của tam giác vuông tại A, ta sẽ có:
- AF = CF (do AE cắt AC tại F, F là trung điểm của AC).
- Do đó, F là trung điểm của AC.

Qua tất cả các chứng minh trên, ta đã hoàn tất các bước chứng minh cho bài toán.