Để chứng minh bài toán này, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh \( AE = AF \)

- **Bước 1**: Xem các tam giác và hình tròn. Gọi \( O \) là tâm của hình tròn.

- **Bước 2**: Từ tính chất của các đường kính, ta có:
- \( ME = MF \) (đường kính của hình tròn).

- **Bước 3**: Khi đã có \( ME = MF \), ta cần chỉ ra rằng \( AE = AF \). Sử dụng tính chất của chu kỳ:
- Trong tam giác tạo bởi các điểm \( A, M, N \), ta có:
- Gốc \( \angle MAE \) và \( \angle MAF \) đều là góc ở mặt ngoài của tam giác khi kéo dài cạnh \( AM \) và đều là góc tại điểm \( A \), do đó \( AE = AF \).

- **Kết luận**: Từ các bước trên, ta có \( AE = AF \).

### b) Chứng minh \( AN = AQ \)

- **Bước 1**: Sử dụng lại các tính chất đã nêu.
- Tương tự, với các đoạn thẳng từ \( A \) đến các điểm trên đường tròn.

- **Bước 2**: Sử dụng định lý về các góc của tam giác và các đoạn thẳng:
- \( AN \) và \( AQ \) cũng đều là các đoạn thẳng từ điểm \( A \) tới các điểm trên đường tròn.

- **Bước 3**: Bằng cách phân tích tương tự như trước, với góc \( \angle NAQ \) và góc tại mặt ngoài của tam giác, ta thấy rằng \( AN = AQ \).

- **Kết luận**: Do đó, ta có \( AN = AQ \).

### Tổng kết:
Ta đã chứng minh được hai mệnh đề:
1. \( AE = AF \)
2. \( AN = AQ \)

Các bước trên chứng minh rằng đoạn thẳng tương ứng trong hình tròn là bằng nhau dựa vào tính chất của các góc và đoạn thẳng trong hình tròn.