Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) sao cho:

\[
x(x-1)(x-7)(x-8) = y^2.
\]

Để giải bài toán này, đầu tiên, ta xét biểu thức bên trái:

\[
x(x-1)(x-7)(x-8)
\]

Biểu thức này có dạng tích của 4 số liên tiếp, và nó sẽ bằng 0 khi \( x \) nhận giá trị là 0, 1, 7, hoặc 8.

### Bước 1: Xét các trường hợp \( x \) bằng các giá trị đặc biệt

1. **Khi \( x = 0 \)**:
\[
0(0-1)(0-7)(0-8) = 0.
\]
Suy ra \( y^2 = 0 \) ⇒ \( y = 0 \).

2. **Khi \( x = 1 \)**:
\[
1(1-1)(1-7)(1-8) = 0.
\]
Suy ra \( y^2 = 0 \) ⇒ \( y = 0 \).

3. **Khi \( x = 7 \)**:
\[
7(7-1)(7-7)(7-8) = 0.
\]
Suy ra \( y^2 = 0 \) ⇒ \( y = 0 \).

4. **Khi \( x = 8 \)**:
\[
8(8-1)(8-7)(8-8) = 0.
\]
Suy ra \( y^2 = 0 \) ⇒ \( y = 0 \).

### Bước 2: Xét các giá trị khác của \( x \)

Bây giờ chúng ta sẽ xét các giá trị \( x \) khác với các giá trị trên:

#### Phân tích dấu

Biểu thức \( x(x - 1)(x - 7)(x - 8) \) có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào \( x \):
- Với \( x < 0 \), biểu thức là dương (bốn số đều âm) hoặc âm (hai số âm, hai số dương).
- Với \( 0 < x < 1 \), biểu thức là âm.
- Với \( 1 < x < 7 \), biểu thức là dương.
- Với \( 7 < x < 8 \), biểu thức là âm.
- Với \( x > 8 \), biểu thức là dương.

Do đó, để cho \( x(x - 1)(x - 7)(x - 8) = y^2 \) (một số dương hoặc bằng 0), \( x \) phải nằm trong khoảng từ \( (-\infty, 0] \) hoặc \( [1, 7] \) hoặc \( [8, \infty) \).

### Bước 3: Tìm nghiệm cụ thể

Ta cần kiểm tra xem các số dương có trở thành số bình phương hoàn hảo hay không. Chúng ta có thể thử với các \( x \) trong các đoạn [1, 7] và [8, ∞):

- Khi \( x = 2 \):
\[
2(2-1)(2-7)(2-8) = 2 \cdot 1 \cdot (-5) \cdot (-6) = 60 \text{ (không phải là bình phương)}
\]

- Khi \( x = 3 \):
\[
3(3-1)(3-7)(3-8) = 3 \cdot 2 \cdot (-4) \cdot (-5) = 120 \text{ (không phải là bình phương)}
\]

- Khi \( x = 4 \):
\[
4(4-1)(4-7)(4-8) = 4 \cdot 3 \cdot (-3) \cdot (-4) = 144 \Rightarrow y = 12
\]

- Khi \( x = 5 \):
\[
5(5-1)(5-7)(5-8) = 5 \cdot 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 120 \text{ (không phải là bình phương)}
\]

- Khi \( x = 6 \):
\[
6(6-1)(6-7)(6-8) = 6 \cdot 5 \cdot (-1) \cdot (-2) = 60 \text{ (không phải là bình phương)}
\]

- Khi \( x = 9 \):
\[
9(9-1)(9-7)(9-8) = 9 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 1 = 144 \Rightarrow y = 12
\]

### Kết luận

Từ phân tích trên, các cặp nghiệm nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện đề bài là:

- \( (0, 0) \)
- \( (1, 0) \)
- \( (7, 0) \)
- \( (8, 0) \)
- \( (4, 12) \)
- \( (4, -12) \)
- \( (9, 12) \)
- \( (9, -12) \)

Vậy nghiệm nguyên của bài toán là \( (x, y) = (0, 0), (1, 0), (7, 0), (8, 0), (4, 12), (4, -12), (9, 12), (9, -12) \).