Để giải phương trình \( x^2 (5^x + 2) - 17(5^x) = 825 \), ta thực hiện các bước sau:

1. Đặt \( y = 5^x \). Khi đó, phương trình biến đổi thành:
\[
x^2 (y + 2) - 17y = 825
\]

2. Mở rộng phương trình:
\[
x^2 y + 2x^2 - 17y = 825
\]
\[
(x^2 - 17)y + 2x^2 = 825
\]

3. Từ đó ta có:
\[
(x^2 - 17)y = 825 - 2x^2
\]
\[
y = \frac{825 - 2x^2}{x^2 - 17}
\]

4. Vì \( y = 5^x \) phải là một số dương, ta cần đảm bảo rằng \( x^2 - 17 \neq 0 \) (tức là \( x \neq \pm\sqrt{17} \)) và \( 825 - 2x^2 > 0 \) (tức là \( 2x^2 < 825 \) hoặc \( x^2 < 412.5 \)).

5. Cũng chú ý rằng \( 5^x \) phải dương, do đó \( y > 0 \implies \frac{825 - 2x^2}{x^2 - 17} > 0 \).

Điều này xảy ra khi:
- Cả tử và mẫu đều dương: \( 825 - 2x^2 > 0 \) và \( x^2 - 17 > 0 \).
- Hoặc cả tử và mẫu đều âm: \( 825 - 2x^2 < 0 \) và \( x^2 - 17 < 0 \) (nhưng điều này không thỏa mãn ngay từ đầu).

6. Từ điều kiện \( x^2 > 17 \) và \( x^2 < 412.5 \), ta có:
\[
\sqrt{17} < |x| < \sqrt{412.5}
\]

7. Khoảng giá trị cho \( x \) là \( x \in (-\sqrt{412.5}, -\sqrt{17}) \cup (\sqrt{17}, \sqrt{412.5}) \).

8. Cuối cùng, để tìm giá trị cụ thể cho \( x \), ta phải giải phương trình \( (x^2 - 17)y = 825 - 2x^2 \) với số liệu cụ thể hoặc sử dụng các kỹ thuật số học khác như đồ thị hoặc giải phương trình thông qua tính toán số.

Tuy nhiên, xin lưu ý rằng không thể tìm ra một cách chính xác biểu thức tổng quát cho \( x \) mà không có những công cụ cụ thể hơn. Phương trình này có thể cần thử nghiệm bằng các giá trị cụ thể cho \( x \).