Để giải phương trình

\[
\left| 2x + \frac{1}{3} \right| + \left| 2x + \frac{1}{6} \right| + \left| 2x + \frac{1}{10} \right| + \cdots + \left| 2x + \frac{1}{45} \right| = 17x,
\]

trước tiên, ta cần xác định các giá trị của \( x \) mà tại đó các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối có thể thay đổi.

Các số trong dấu giá trị tuyệt đối là \( \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{10}, \dots, \frac{1}{45} \). Ta viết lại các số hạng như sau:

\[
\frac{1}{n^2} \text{ cho } n = 3, 6, 10, \ldots, 45.
\]

Tìm các giá trị của \( 2x + \frac{1}{n} = 0 \):

\[
2x + \frac{1}{n} = 0 \implies 2x = -\frac{1}{n} \implies x = -\frac{1}{2n}.
\]

Tính các giá trị của \( n \):

- \( n = 3 \): \( x = -\frac{1}{6} \)
- \( n = 6 \): \( x = -\frac{1}{12} \)
- \( n = 10 \): \( x = -\frac{1}{20} \)
- \( n = 15 \): \( x = -\frac{1}{30} \)
- \( n = 21 \): \( x = -\frac{1}{42} \)
- \( n = 30 \): \( x = -\frac{1}{60} \)
- \( n = 36 \): \( x = -\frac{1}{72} \)
- \( n = 45 \): \( x = -\frac{1}{90} \)

Các điểm phân chia là \( x = -\frac{1}{6}, -\frac{1}{12}, -\frac{1}{20}, -\frac{1}{30}, -\frac{1}{42}, -\frac{1}{60}, -\frac{1}{72}, -\frac{1}{90} \).

Ta sẽ xem xét từng khoảng \( (-\infty, -\frac{1}{6}), (-\frac{1}{6}, -\frac{1}{12}), \ldots, (-\frac{1}{90}, +\infty) \).

1. **Khoảng \( (-\infty, -\frac{1}{6}) \)**: Tất cả các giá trị trong dấu giá trị tuyệt đối đều dương:

\[
|2x + a| = 2x + a \implies S = 17x.
\]

Tính từng hạng tử và cộng lại. Tính tổng của các hạng tử và xử lý.

2. **Tương tự cho các khoảng còn lại**: Trong từng khoảng, ta cần kiểm tra dấu của các hạng tử trong giá trị tuyệt đối.

Sau khi giải từng khoảng như trên, ta sẽ thu được một số phương trình bậc nhất hoặc bậc hai với \( x \).

Cuối cùng, kiểm tra các giá trị thu được cho từng khoảng để đảm bảo rằng giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện ban đầu của phương trình.

Đây là cách tiếp cận từng bước để giải bài toán. Nếu cần hỗ trợ thêm về việc tính toán cụ thể trong từng khoảng, hãy cho biết!