Ta có điều kiện \( x + y = 1 \). Từ đó, ta có thể biến đổi \( y \) theo \( x \):

\[
y = 1 - x
\]

Thay \( y \) vào biểu thức \( M \):

\[
M = 5x^2 + y^2 = 5x^2 + (1 - x)^2
\]

Tiến hành tính \( (1 - x)^2 \):

\[
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
\]

Vì vậy, biểu thức M trở thành:

\[
M = 5x^2 + 1 - 2x + x^2 = 6x^2 - 2x + 1
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \), ta sẽ sử dụng đạo hàm. Đạo hàm \( M \) theo \( x \):

\[
\frac{dM}{dx} = 12x - 2
\]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:

\[
12x - 2 = 0 \implies 12x = 2 \implies x = \frac{1}{6}
\]

Sau đó, ta sẽ kiểm tra giá trị của \( M \) tại \( x = \frac{1}{6} \):

\[
y = 1 - x = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
\]

Tính giá trị của \( M \):

\[
M = 5\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 5 \cdot \frac{1}{36} + \frac{25}{36} = \frac{5}{36} + \frac{25}{36} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}
\]

Cuối cùng, để chắc chắn rằng giá trị nhỏ nhất này xảy ra, ta có thể tính đạo hàm bậc hai:

\[
\frac{d^2M}{dx^2} = 12
\]

Vì \( \frac{d^2M}{dx^2} > 0 \), nên \( x = \frac{1}{6} \) là điểm cực tiểu.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M = 5x^2 + y^2 \) khi \( x+y=1 \) là:

\[
\boxed{\frac{5}{6}}
\]