Để chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + \cdots + 2^{20} \) chia hết cho 30, trước tiên ta cần tính giá trị của \( A \).

Ta có thể nhận thấy rằng \( A \) là một tổng số hạng của cấp số nhân với công bội \( q = 2 \) và số hạng đầu \( a = 2 \). Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân, ta có:

\[
A = \frac{a(q^n - 1)}{q - 1}
\]

Trong đó:
- \( a = 2 \)
- \( q = 2 \)
- \( n = 20 \)

Áp dụng công thức lên \( A \):

\[
A = \frac{2(2^{20} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{20} - 1) = 2^{21} - 2
\]

Bây giờ, để chứng minh \( A \) chia hết cho 30, ta cần kiểm tra tính chia hết của \( A \) theo các ước số của 30, là \( 2, 3, \) và \( 5 \).

1. **Chia hết cho 2**:
\[
A = 2^{21} - 2
\]
Rõ ràng \( A \) chia hết cho 2 vì cả hai hạng tử đều chia hết cho 2.

2. **Chia hết cho 3**:
Ta xét \( A \) modulo 3:
\[
2^{21} \equiv 1 \mod 3 \quad \text{(vì } 2 \equiv -1 \mod 3 \text{ và } (-1)^{21} \equiv -1 \equiv 2 \mod 3\text{)}
\]
Vậy:
\[
A = 2^{21} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 3
\]
Điều này có nghĩa là \( A \) chia hết cho 3.

3. **Chia hết cho 5**:
Ta xét \( A \) modulo 5:
\[
2^{21} \mod 5
\]
Ta áp dụng định lý Fermat. Theo đó \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \), nên:
\[
2^{21} \equiv 2^{21 \mod 4} = 2^{1} \equiv 2 \mod 5
\]
Vậy:
\[
A = 2^{21} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 5
\]
Điều này có nghĩa là \( A \) chia hết cho 5.

Kết luận, vì \( A \) chia hết cho \( 2 \), \( 3 \), và \( 5 \), nên \( A \) chia hết cho \( 30 \).

Vì vậy, ta đã chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 30.