Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC tại H, HM ⊥ AB tại M, HN ⊥ AC tại N. (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC)

Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Giải tam giác ABC

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết \( AB = 6 \) cm, \( AC = 8 \) cm. Ta có thể tính cạnh huyền \( BC \) bằng định lý Pythagore:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

Vậy tam giác ABC có các cạnh là \( AB = 6 \) cm, \( AC = 8 \) cm, và \( BC = 10 \) cm.

### b) Chứng minh: \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \)

Từ hình vẽ, ta có:

- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( M \) là chân đường cao từ \( H \) xuống \( AB \).
- \( N \) là chân đường cao từ \( H \) xuống \( AC \).

Áp dụng định lý lượng giác liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AM = AB \cdot \sin B
\]
\[
AN = AC \cdot \sin C
\]

Từ đó, ta có thể chứng minh:

\[
AM \cdot AB = AB \cdot \sin B \cdot AB = AB^2 \cdot \sin B
\]
\[
AN \cdot AC = AC \cdot \sin C \cdot AC = AC^2 \cdot \sin C
\]

Vì \( \sin C = \cos B \) trong tam giác vuông, nên ta có:

\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC
\]

### c) Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \)

Sử dụng công thức:

\[
\frac{S_{AHB}}{S_{AMN}} = \frac{1}{2 \cdot \sin B} + \frac{1}{2 \cdot \cos HAC}
\]

Để tính \( S_{AMN} \) can áp dụng định lý về diện tích và ba đường cao, cùng với tỉ lệ diện tích trong tam giác.

### Kết luận:

Việc chứng minh cho các tỉ số diện tích yêu cầu một số công thức lượng giác, và kết quả cuối cùng:
\[
\frac{S_{AHB}}{S_{AMN}} là hợp lý trong bối cảnh hình học của tam giác vuông.
\]

Nếu cần cụ thể hơn, bạn cũng có thể làm rõ từng bước vẽ hình và tính toán!