Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Biểu diễn các số hạng trong cấp số cộng:**

Gọi \( u_1 = a \) là số hạng đầu, \( d \) là công sai.

Ta có:
- \( u_2 = a + d \)
- \( u_4 = a + 3d \)
- \( u_7 = a + 6d \)

2. **Thay các biểu thức vào hệ phương trình:**

Hệ phương trình là:
\[
\begin{cases}
u_4 + 3u_7 - u_2 = -21 \\
3u_7 - 2u_4 = -34
\end{cases}
\]

Thay các biểu thức vào:

- Phương trình 1:
\[
(a + 3d) + 3(a + 6d) - (a + d) = -21
\]
Đơn giản hóa:
\[
a + 3d + 3a + 18d - a - d = -21
\]
\[
3a + 20d = -21 \quad (1)
\]

- Phương trình 2:
\[
3(a + 6d) - 2(a + 3d) = -34
\]
Đơn giản hóa:
\[
3a + 18d - 2a - 6d = -34
\]
\[
a + 12d = -34 \quad (2)
\]

3. **Giải hệ phương trình (1) và (2):**

Từ phương trình (2), ta có:
\[
a = -34 - 12d
\]
Thay \( a \) vào phương trình (1):
\[
3(-34 - 12d) + 20d = -21
\]
\[
-102 - 36d + 20d = -21
\]
\[
-16d = 81 \quad \Rightarrow \quad d = -\frac{81}{16}
\]

Thay \( d \) vào phương trình (2) để tìm \( a \):
\[
a + 12\left(-\frac{81}{16}\right) = -34
\]
\[
a - \frac{972}{16} = -34
\]
\[
a = -34 + \frac{972}{16} = -34 + 60.75 = 26.75
\]

4. **Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng:**

Công thức tổng \( S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n - 1)d) \):
\[
S_{15} = \frac{15}{2} \left(2 \cdot 26.75 + (15 - 1)(-\frac{81}{16})\right)
\]
\[
= \frac{15}{2} \left(53.5 - 14(-\frac{81}{16})\right)
\]
\[
= \frac{15}{2} \left(53.5 - \frac{1134}{16}\right)
\]
Tính \( \frac{1134}{16} = 70.875 \):
\[
S_{15} = \frac{15}{2} (53.5 - 70.875) = \frac{15}{2} \times -17.375 = \frac{15 \times -17.375}{2}
\]
\[
= -130.3125
\]

Vậy tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng là \( -130.3125 \).