Để giải bài toán này, ta cần xác định giá trị lớn nhất (M) và nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = e^{x^2 + x - 3} \) trên đoạn [0, 2].

### Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các đầu mút
1. **Tại \( x = 0 \)**:
\[
y(0) = e^{0^2 + 0 - 3} = e^{-3}
\]

2. **Tại \( x = 2 \)**:
\[
y(2) = e^{2^2 + 2 - 3} = e^{3}
\]

### Bước 2: Tìm giá trị cực trị trong khoảng (0, 2)
Ta cần tính đạo hàm để tìm những giá trị phân cực:
\[
y' = \frac{d}{dx}(e^{x^2 + x - 3}) = e^{x^2 + x - 3}(2x + 1)
\]
Để tìm các điểm cực trị, giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
e^{x^2 + x - 3}(2x + 1) = 0
\]
Chỉ cần giải \( 2x + 1 = 0 \):
\[
x = -\frac{1}{2}
\]
Tuy nhiên, điểm này không nằm trong khoảng [0, 2].

### Bước 3: So sánh giá trị tại các đầu mút
Tại \( x = 0 \), giá trị là \( e^{-3} \).
Tại \( x = 2 \), giá trị là \( e^{3} \).

Vậy:
- **Giá trị nhỏ nhất (m)**: \( m = e^{-3} \)
- **Giá trị lớn nhất (M)**: \( M = e^{3} \)

### Bước 4: Tính biểu thức
Biểu thức cần tính là:
\[
\ln M + 2 \ln m
\]
Thay giá trị của M và m vào:
\[
\ln M = \ln(e^{3}) = 3
\]
\[
\ln m = \ln(e^{-3}) = -3
\]
Vậy:
\[
2 \ln m = 2(-3) = -6
\]

Cuối cùng, tính giá trị biểu thức:
\[
\ln M + 2 \ln m = 3 - 6 = -3
\]

### Kết luận
Giá trị của biểu thức là:
\[
\boxed{-3}
\]