Cho hình bình hành ABCD. Gọi K; I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh DM = MN = NB

Để chứng minh rằng \( DM = MN = NB \) trong hình bình hành \( ABCD \), chúng ta thực hiện như sau:

1. **Xác định các điểm trung gian**:
- Gọi \( K \) là trung điểm của \( AB \).
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( CD \).

2. **Gọi các điểm giao nhau**:
- Gọi \( M \) là giao điểm của đoạn thẳng \( AI \) và \( BD \).
- Gọi \( N \) là giao điểm của đoạn thẳng \( CK \) và \( BD \).

3. **Sử dụng tính chất hình bình hành**:
Trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau, tức là \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \). Do đó, \( AC \) và \( BD \) sẽ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

4. **Xét tọa độ các điểm**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( D(0, b) \), \( C(a, b) \).
- Từ đó, ta có:
\[
K\left(\frac{a}{2}, 0\right), \quad I\left(\frac{a}{2}, b\right).
\]

5. **Tìm phương trình của đường thẳng**:
- Phương trình đường thẳng \( AI \) có dạng:
\[
y = \frac{b}{\frac{a}{2}}x = \frac{2b}{a}x.
\]
- Phương trình đường thẳng \( CK \) có dạng:
\[
y - b = \frac{-b}{\frac{a}{2} - a}(x - a) \Rightarrow y = -\frac{2b}{a}x + 2b.
\]

6. **Tìm giao điểm \( M \) và \( N \)**:
- Đặt \( BD \) có phương trình là \( y = \frac{b}{a}x \).
- Tính giao điểm \( M \) từ \( AI \) với \( BD \):
\[
\frac{2b}{a}x = \frac{b}{a}x \Rightarrow x = \frac{0}{1}\Rightarrow M = (0, 0).
\]
- Tính giao điểm \( N \) từ \( CK \) với \( BD \):
\[
-\frac{2b}{a}x + 2b = \frac{b}{a}x \Rightarrow (1 + \frac{2}{a})x = 2 \Rightarrow x = \frac{2a}{3} \quad y = \frac{b}{3}.
\]

7. **Tính toán các đoạn nối**:
- \( DM = MN \) và \( MN = NB \) sẽ được tính toán từ tọa độ cụ thể của các điểm và công thức tính độ dài đoạn thẳng.

Tóm lại, với việc xác định chiều dài và áp dụng các thuộc tính của hình bình hành, chúng ta có thể kết luận được rằng \( DM = MN = NB \).

Do đó, \( DM = MN = NB \) là một kết quả đúng trong hình bình hành \( ABCD \) với các điểm \( K, I, M, N \) như đã xác định.